一个有意思的数列极限

rocwoods

我们先来看这样一个序列：      f(x,n): f(x,1) = x; f(x,2) = x^x; f(x,n)=x^...(n个)x ;
    很容易的，我们可以计算f(2,2) = 2^2=4;f(2,5)=2^(2^(2^4))=2^(2^16) =2^65536约=2.00352993*10^19728；想必到这里，大家已经明白这个数列当x不太大的时候(譬如仅仅为2)，趋向无穷的速度已经是惊人到无法想象。怎么个无法想象呢，让我们以基本的科学记数法为例来说说明，众所周知，科学记数法天生就是为了表示大数的。比如可观测宇宙(以地球为中心，大约100亿至200亿光年的球体)中含有大约数千亿个星系，每个星系平均含有千亿颗恒星(行星数就不得而知了)，包括动辄以光年计算尺度的星云和弥漫宇宙空间的星际尘埃，我们想问的就是可观测的宇宙物质中的原子数是个什么量级呢？天文学家给我们的答案是可观测宇宙的质量大约是10^53千克，折合成质子数是10^80量级，我们的f(2,5)已经远远远远远远超过这个数字了。换句话说，如果我们想用科学计数法表示f(2,6),注意，仅仅是表示出来，那么我们用上可观测的全宇宙的质子、中子数（每个粒子表示一位）都办不到。
    到这里，以人类的想象力，我们只能肤浅的想象f(2,6)有多大，对于x>2,n>6,我们实在是没有能力想象有多大了。
    那么请大家猜猜f(1.9,n)，随着n的增大，会怎么样呢？没错，很快趋近无穷。我们可以写个简单的MATLAB函数验证这个f(x,n)：

1. 
   
2. 
   
3. function f = test(x,n)
   
4. f = 1;
   
5. for   k = 1:n
   
6.    f = x^f;
   
7. end

复制代码

  f(1.9,5) = 2.258794402547081*10^78
    现在再请大家猜猜f(1.4,n)，随着n的增大，会怎么样呢？我想看到这里的朋友，如果不实际编程算的话，十有八九会猜测是趋近无穷。
    如果我现在说无论n多大，f(1.4,n)不会超过3，进一步的，不会比e大，有多少朋友直观上觉得是对的呢？心存疑问的朋友可以编程算一下。结果是不是出乎我们的意料？
    显而易见，f(1,n)是收敛到1的，f(2,n)是发散到无穷的。我们能否找到f(x,n)收敛的最大的x呢？f(x,n)如果收敛的话，最大可能是多少呢？这个问题估计已经被研究过，但是我实在没找到相关资料，这里给出我自己想的证明：

1. 
   
2. 假设f(x,n)收敛,不妨记为a。(由f(1,n)收敛知，a肯定是存在的)
   
3. 根据f(x,n)的表达式,我们有x^a = a，进而有
   
4. x = a^(1/a);
   
5. f(x,n)能够收敛的x的最大值不会超过 a^(1/a)的最大值。
   
6. 我们对 a^(1/a)关于a求导数得到：
   
7. a^(1/a - 1)/a - (a^(1/a)*log(a))/a^2
   
8. 令其等于0，解得a = e的时候a^(1/a)最大。
   
9. 也就是说x>e^(1/e)时f(x,n)必然发散。
   
10. 下面需要证明的是收敛的a值不会大于e.
    
11. 由上面知，a = e的时候，xe = e^(1/e)
    
12. 假设存在收敛到的某值a>e,xa = a^(1/a)<xe
    
13. 由f(x,n)的表达式，有f(xa,n)<f(xe,n),与假设矛盾.故命题得证
    
14. 
    

复制代码

因此，0<x<=e^(1/e)=1.444667861009766...时收敛，且当x等于e^(1/e)时f(x,n)收敛到所有收敛情形的最大值——e。

zccbest

这个数列没看明白啊，怎么算出的数

zccbest

1. function f = test(x,n)
   
2. 
   
3. f =1;
   
4. for i=1:n  
   
5. f = x^f;
   
6. end

复制代码

zccbest

x的取值范围是多少，如果x<1,比如0.2，也是收敛的，但是当x=0时，出现了0^0，这是一个不确定的值

bainhome

的确是个有意思的序列！好像roc又做了些延伸思考，还得消化一下。
这个问题我和zccbest一样，刚开始roc说完之后，也认为应该小于1，但测试之后发现大于1也可以，后来试算就慢慢发现又和exp联系在一起了，不过0^0是个特例，似乎数学上规定这个数字等于1吧，记不清了...
个人感觉是关于无穷级数的收敛域问题，但觉得很有趣味性，不知道有没有相关的知识从更高的数学理论层次描述。
但3楼代码不大对劲，我想大致应该是这样：

1. 
   
2. format long g
   
3. x=1.444667;
   
4. b=x;
   
5. loop=20000;
   
6. for i=1:loop
   
7.     x=b^x;
   
8. end
   
9. x

复制代码

roc的数学上有种直觉，赞一个！

rocwoods

只考虑x>0的情形，或者进一步x>1的收敛情形。x=0的时候没有意义，硬要考虑应该是考虑x->0,n->无穷时候的表现，但这样牵扯到x->0的方式，譬如按1/n，1/n^2等等，这样考虑就有些复杂了。暂时考虑x固定，且大于1的情形。
一开始没注意，复制的格式有问题，我把帖子又编辑了下，test(x,n)的代码就像zccbest那样，和bainhome的都是一个意思，一个是从x^0开始一个是从x^1开始。

bainhome

噢，zccbest的代码是我看错了，没注意for loop里的f是循环赋值的，sorry。