关于张量运算的疑问

zhanxin06112

请教各位一个关于张量运算的问题，P为投影张量，为四阶张量，C是3*3的右Cauchy-Green变形张量矩阵，那么经过张量积运算后P就是9*9的矩阵了，然后P它与overbar S 之间求trace，请问该如何求呢，overbar S 应该不是9*9的矩阵呀，即使是9*1的列向量，那就不能求trace了吧。不知道我理解有问题没，请各位指教一二。谢谢！

zytsang

下面是张量积和两点积的运算过程：

P是四阶张量，但不是9*9矩阵。这里P可以写成一个3*3的矩阵，这个矩阵的每一个元素也是3*3的矩阵。可以说，P是二阶张量，P的每个元素也是二阶张量，所以P的总阶数是4。这是用矩阵表达高阶张量的一种办法。所以P：S的计算还是按照两点积的算法（不完全是二阶张量的两点积算法，详见5楼），把每个元素对应相乘，然后把所有乘积加起来，唯一不同点在于这里P的每个元素是3*3矩阵，所以P：S也是3*3矩阵，所以可以求迹。
不知道我有没有理解你的问题

zhanxin06112

zytsang 发表于 2012-7-2 19:14
下面是张量积和两点积的运算过程：

P是四阶张量，但不是9*9矩阵。这里P可以写成一个3*3的矩阵，这个矩阵的 ...

谢谢你了，Z大，你这样一说，我就明白了许多。我还是在写本构，无奈基础薄弱。但是张量的两点积的定义不就是求迹吗，是一个标量。那么Svol 是一个矩阵，Siso是一个标量了，这两者之间怎么实现求和呢。

另外，如上图所示的，（1）张量圈点积等于张量逆对张量的求导了，看不太懂；（2）连续三个四阶张量的两点积最后应该也是标量吧，不太会求；（3）我要求的C弹性张量最后应该是6*6的矩阵，可是该如何简化呢；（4）如何把张量形式写成代数分量形式，虽然看了下爱因斯坦求和约定，但是写的时候还是不太明白。 Z大能否给推荐本张量分析的书，我在研读下。不然这个坎还是迈不过去。谢谢Z大了。

zhanxin06112

zytsang 发表于 2012-7-2 19:14
下面是张量积和两点积的运算过程：

P是四阶张量，但不是9*9矩阵。这里P可以写成一个3*3的矩阵，这个矩阵的 ...

Z大，二阶张量乘积我没啥疑问，但是我算的四阶张量与二阶张量的两点积与你算的有点差别，如图所示。最后的3*3的矩阵你算得的每个元素的共因子是b对应的分量，我算得的是a对应的分量。请指教。

zytsang

两个二阶张量的两点积的确是求对应矩阵乘法的积，也的确是个标量。但是一个四阶张量和二阶张量的两点积就不是标量了，而应该是一个二阶张量。所以Svol和Siso都是二阶张量，可以相加。
关于圈点积的定义见下图：
写成矩阵形式就是：

（1）两个二阶张量的圈点积是一个四阶张量
（2）连续三个四阶张量的两点积=一个二阶张量与一个四阶张量的两点积=一个二阶张量（此处有误，两个四阶张量的两点积应该是一个四阶张量）。你把四阶张量写成我二楼那个附件的形式，然后按两点积的定义（对应元素相乘，再把所有乘积加起来），就能得到结果
（3）三维的弹性张量应该是四阶，有9*9=81个元素（因为是对称张量，加上角动量守恒的条件，所以只有6*6=36个独立元素）。只要把张量完整形式写出来，然后对比元素，就能挑出其中36个独立元素，写成6*6矩阵的形式（voigt notation）
（4）代数分量形式的规则主要是以下三条：
a）同变量的重复下标表示求和： ，
b）所有下标至少滚动一次，从1到n，但是重复的下标优先滚动
c）下标的数目即为张量的阶数
但是使用中很抽象，只能说要多多熟悉才好。我个人感觉在三维正交直线（笛卡尔）坐标系下，用张量的形式比较方便。代数分量形式在曲线坐标系下比较方便。
中文教材的话，我想国内应该多用的是黄克智的张量分析：http://ishare.iask.sina.com.cn/f/7090739.html
英文的教材就多了，从continuum mechanics到general relativity和differential geometry有非常多的书，我自己用的是Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers（因为书后配了习题答案……），这里有第一版的下载：
http://www.empresasmp.com/fmilan ... 0for%20engineers%20(Springer,%202007)(ISBN%203540360468)(243s)_MCta_.pdf
不过这本书第二版已经出了，如果你学校有订阅springer的话，可以去他家网站上把PDF保存下来
希望对你有帮助

zytsang

zhanxin06112 发表于 2012-7-3 11:13
Z大，二阶张量乘积我没啥疑问，但是我算的四阶张量与二阶张量的两点积与你算的有点差别，如图所示。最后 ...

维基上面的克罗内克积是对于矩阵来说的，矩阵的元素本身不带坐标，所以内包的方括号可以铲掉（Flatten）
但是对于张量来说，其每个元素是带了基（basis）的，做了两点积以后这些basis必须保留，所以会变成四阶张量。
按克罗内克积的写法的话，那个9*9的矩阵还是一个二阶张量，后面的运算没法做的

zytsang

zhanxin06112 发表于 2012-7-3 11:13
Z大，二阶张量乘积我没啥疑问，但是我算的四阶张量与二阶张量的两点积与你算的有点差别，如图所示。最后 ...

你这张图片里面的运算是正确的，最后结果其实和我二楼算的是一样的。我二楼的结果没有化简，你这里的结果更加简洁。
克罗内克积的写法只对矩阵有效，张量的话里面的方括号不能省略。矩阵和张量本质上是不一样的，只不过张量可以用矩阵的形式写出来。

zhanxin06112

zytsang 发表于 2012-7-3 11:25
两个二阶张量的两点积的确是求对应矩阵乘法的积，也的确是个标量。但是一个四阶张量和二阶张量的两点积就不 ...

谢谢Z大，我昨晚看了下书，我也下了本黄克智的张量分析。现在要仔细读读了，很感谢你仔细的解答，但我觉得你说的第二点，也就是三个四阶张量的两点积的问题意见不一样。我认为应该还是四阶张量，请看下面的这个定则，，先让前两个四阶张量求两点积结果是一个四阶张量，然后再与后面的四阶张量求两点积道理是一样的。这样的话，最后示出的弹性刚度矩阵就是你所说的9*9的，最后可以化成6*6的了，而且可以和弹性刚度矩阵C的其它项进行和并了。

zytsang

zhanxin06112 发表于 2012-7-3 14:40
谢谢Z大，我昨晚看了下书，我也下了本黄克智的张量分析。现在要仔细读读了，很感谢你仔细的解答，但我觉 ...

你说的是对的，我5楼的帖子（2）点说错了，两个四阶张量的两点积应该是一个四阶张量

TBE_Legend

QQ群里面楼主也发了这个问题，我看了下，实在有点乱啊。

就我知道的说点：
1）双点乘对于二阶张量来说可以等效成tr运算。双点乘的定义还是黄克智的书说的明白。
2）标量函数（自变量是张量）的求导运算的分量很简单的，黄克智书上有。一些特殊的标量函数（n阶矩）才可以化成求逆运算。楼主的推导让我很发蒙。