时域有限差分算法白皮书(4)--算法加速技术：自适应网格划分

现实主义的土壤

      时域有限差分法（Finite Difference Time Domain，FDTD）最早由 K. S. Yee在1966年提出并发表，算法以有限差分方法为基础发展而来，是一种直接在时间-空间域内直接求解麦克斯韦方程组的数值方法，且该算法形式适合用于计算机模拟计算。由于算法被K. S. Yee提出，所以又称为Yee算法。这种算法主要是基于对偏微分方程的离散化处理，来完成对光子学器件结构的仿真计算。通过直接在有限空间将麦克斯韦的旋度方程采用二阶精度的中心差进行分析，得到差分方程，使得连续的电场和磁场离散成为网格式的分布形式，这样就将时域微分方程的求解过程转变为差分方程的迭代求解过程。通过在时间上的不断迭代，可以求出下一个时刻的电场与磁场的分布情况，可以直观的呈现出电磁场在光子学元器件内部的传输过程。通过控制有限差分离散化的精度、可以有效避免数值计算所产生的误差，可以得到较为精确的结果。该算法原理上能够对任何几何形状、结构的光子学元器件进行处理，并且在包括电磁波散射、透射、吸收、光路的时域分析等复杂电磁结构的模拟运算中有着十分重要而广泛的应用。

      对于时域有限差分法的介绍分为：算法模型原理，有源器件，算法稳定性，算法加速技术，计算区域控制等。

      今天我们来介绍第四部分--算法加速技术：自适应网格划分

      网格是影响FDTD计算性能的重要因素之一，三维仿真的每个维度网格密度每下降一倍，存储需求降低为1/8，受时域迭代稳定条件的影响，时间步长也可放大一倍，则总体的仿真时间则减小为1/16，因此在保证精度的前提下将网格密度降低即空间步长增大十分必要，常用的自适应网格划分技术中通常包括随介质变化的非均匀网格，模拟曲面边界的共形网格。

    （1）自适应非均匀网格划分

      由于数值色散的影响，空间步长需要满足Δ<λ/m，m的取值与用户所要期望的精度有关，而λ为介质中的波长，其与真空中波长λ0的关系为λ=λ0/n，n为介质的折射率，因此在保证同样精度的情况下，可以分别对不同折射率的介质区域划分不同大小的网格以减少总的网格数量，所以在FDTD计算之前的网格剖分中，可以充分考虑光器件结构的分布状态，在高折射率的区域划分细网格，在低折射率区域采用粗网格，如图1所示，在中心硅波导区域网格更密，而外侧空气网格的大小约为波导内的3.5倍，有效地减少了仿真区域的总网格数。

图1 自适应非均匀网格剖分

    （2）共形网格

       虽然FDTD是一种可靠的数值计算方法，但由于其要求采用矩形（二维）或者立方体（三维）网格，在对弯曲表面与网格平面不能对齐的介质做离散化生成Yee元胞模型时，会使弯曲表面阶梯化而降低计算精度。虽然通常情况下空间网格满足了FDTD的数值色散要求，但是并不一定能够模拟出真实的曲面结构，为尽可能精确地模拟曲面或斜面，往往需要采用更密的网格，而共形网格技术考虑单网格内的结构分布，将一个Yee元胞内同种介质内电磁场看作是均匀分布的，根据法拉第积分定律和安培积分定律，利用电磁场的边界条件可得出含有多种介电材料的网格等效介电常数计算方法，从而达到模拟曲面结构的目的。