精确耦合波法(3)--多层结构计算：散射矩阵法

现实主义的土壤

      精确耦合波法（rigorous coupled wave analysis，RCWA），也称为傅里叶模态法（Fouriermodal method，FMM）。顾名思义，该算法将电磁场问题从空间域变换至空间频率域（即傅里叶域），在空间频率域中求解电磁场本征模式（即傅里叶模态）。从原理上看，RCWA/FMM方法属于模式展开法的一种，不同于有限差分本征模FD-EME在空间域内求解波导模式，RCWA法是在空间频率域内求解电磁场模式分布，该方法也可与散射矩阵法S matrix联合使用处理多层复杂结构中的电磁场传播问题。

      对于精确耦合波法的介绍分为：基本原理，收敛性改进，多层结构计算，精确高效算法等。

      今天我们来介绍第三部分--多层结构计算：散射矩阵法

      借助傅里叶变换算法，在空间频率域中求解电磁场本征模式的方法原则上用于结构/介质不随纵向坐标z变换的情况。对于结构/介质随z变换的一般情况，需要在纵向上做分层处理，如图1所示。

图1 将连续变化的结构/介质分布沿z方向做分层近似

      将任意连续结构/介质做分层近似后，每层分布仅在横向方向变化，可使用前两节所述方法计算层内本征电磁场模式。之后，在相邻两层界面处应用电磁场的连续性条件，便可获得描述整个系统的线性方程组，进而求得整体结构的光学特性。随着求解结构复杂化、分层数不断增加，直接求解描述整个系统的线性方程组所需的内存用量和计算时间也随之增加。散射矩阵S matrix则将整个系统求解化为递归问题，并且已经证明S matrix是一种无条件稳定的数值解法。

      如图2所示，散射矩阵的根本任务是得出复杂结构最前（序号0）、最后层（序号n）之间的电磁场模式系数关系，即

      若要推到求解上式的递推关系，首先假设已知由(n)层至(j+1)层的S matrix为

图2 使用散射矩阵S matrix求解复杂多层结构/介质原理

      现在考察分界面(j)处两侧电磁场的关系，利用电磁场的连续性条件，可得到如下表达式

      经过代数变换操作，上式可以改写为

      其中t-matrix定义为

      以t-matrix为中间变量，经过代换操作，可将已知S matrix由当前层(j)递推至下一层(j+1)，即

      上述S matrix中S21、S22元素的递推表达式为

      其中

      以及S matrix中S11、S12元素的递推关系可表示为

      以上四个表达式给出了S matrix的递推计算方法。从上述表达式中不难发现，矩阵元素S11（对应透射）、S21（对应反射）的递推关系独立于其他两个元素。因此，在没有反向入射的情况下，通常只需计算S11、S21矩阵元素即可描述待研究结构/介质的光学特性。此种情况下，由于只需要计算一般的S matrix矩阵元素，整体计算量减半，因而也被称为半散射矩阵（half S matrix）。