光束传播法(6)--边界条件：完美匹配层

现实主义的土壤

      光束传播法（Beam Propagation Method，BPM）是利用有限差分法直接求解频域亥姆霍兹方程，只需要对三个空间方向进行差分。由于其效率和精度，BPM在仿真光波导介质中的电磁波传播中得到广泛的应用。BPM的使用也十分灵活，可以根据不同器件结构调整参数和算法形式，应用于不同的计算场合。如果采用了半矢量算法形式，不同的电磁场分量相互分离，分别计算，可以进一步降低对硬件的要求，提高计算效率。通过不同近似程度下的BPM可以对各类无源波导器件进行数值验证并且对其中的损耗及偏振等特性进行准确分析。该方法根据三维波导结构中偏振特性是否可以忽略划分为三维半矢量算法和全矢量算法；根据传输方向角度的大小不同有傍轴近似和高阶广角近似；根据算法的实现形式，有显示算法和隐式算法；针对三维算法存在不能直接高效求解的问题，可以引入交替方向隐式算法（ADI）。根据不同器件结构选取不同的算法形式，可以在保证足够计算精度的情况下对具有低折射率差大尺寸的无源波导器件进行快速的数值仿真，优化性能并且加快器件设计的周期。

      对于光束传播法的介绍分为：算法原理，交替方向隐式求解，广角算法扩展，有限差分格式，边界条件。

      今天我们来介绍第六部分--边界条件(2)：完美匹配层

      所谓完美匹配层（PML）即对波动方程中的空间坐标进行复数变化，包括在BPM中，其对应的复数变化后的二维波动方程为

      其中，np为PML层的折射率，与相邻波导层一致，σx和σz分别为x和z方向的电导率。

图1 光波在PML层的传播示意图

      如图3所示，为了在完美匹配层（PML）满足匹配条件从而在不产生反射，利用下图中的二维结构进行说明。平面波从PML1层入射进入PML2层，其入射角和透射角分别为θ1和θ2，反射率和透射率分别为R和T，因此两层PML中对应的电场为

      PML层中的电场满足上述波动方程，代入可得对应的波矢分量

      其中θi，i=1，2分别表示入射角和透射角。当满足阻抗匹配条件时

      此时对应的两层PML间的反射率为

      由上述推导可知，如果保证纵向电导率相等则θ1=θ2即可以满足反射率为0，意味着入射到PML层的场不会反射到上一层。此时在PML层中的电场表达式为

      不难看出，在PML层中沿着x轴电场不会发生反射，而且呈现指数衰减，衰减系数为。

      在BPM算法中电场沿着纵向传输，因此在这里可以假设电导率σz=0来保证反射率为0。为了对复数形式的波动方程进行有限差分近似求解需要保证电导率分布函数在x方向连续。假设δ为PML层的厚度，x为PML离开波导最外层的距离，因此电导率的分布为

      其中，最大电导率可以利用PML最外层的最大反射率推导得到，即

      波导层的电导率为0，对应的复数变化为1即在波导结构中退化为常规的波动方程。为了利用有限差分对复数形式的波动方程求解，假设复数变化可以等效为对空间坐标的映射，所以在距离波导距离为δ的位置其坐标为

      相邻网格的复数间距为，因此可得波动方程中二阶偏微分方程对应的差分形式

      PML边界的处理方式可以直接由二维扩展到三维，其横截面内的电导率分布如图2所示。

图2 三维的形式下PML层电导率参数设置