本征模式分解法(4)--光波导的PML模型

现实主义的土壤

      常用的本征模式分解法基于有限差分，将连续的微分算符转为差分后，在给定横向结构中求解电磁场的本征模式。如前文所述作为一种模式分解算法，EME法在计算具有较大纵向尺寸结构时有很大的优势，并且该算法通过模式分布可展示内在物理过程，为器件的设计提供清晰的思路。

      对于本征模式分解法的介绍分为：算法模型原理，三层平板光波导，BOX波导模型，光波导的PML模型，复模式匹配算法。

      今天我们来介绍第四部分--光波导的PML模型

      在BOX波导模型中，由于引入了全反射边界条件，因此不论BOX尺寸有多大，总会有一部分能量反射回来，这就造成了截断误差。尤其是当BOX尺寸有限时，其影响更为明显。增加BOX的尺寸不仅会增加计算量，而且会增加BOX模的数量，造成了每个模式的差别较小，这和离散辐射模的目的相违背。为解决这个问题，通常是在全反射边界内增加吸收边界条件（Absorbingboundary conditions，ABC）， 如图1所示。用吸收边界来模拟整个自由空间，则既可以消除由于引入全反射边界造成的截断误差，又可以达到离散辐射模的目的。

      如果用吸收材料作为吸收边界的话，则很难消除两种材料边界处的寄生反射，因此选取的材料要包含很多层，随着层数的增加，逐渐增加吸收系数。如果采用这种方式，其波导的尺寸和计算的数据量将会大大增加。因此本文采用完美匹配层（Perfectlymatched layer，PML）边界条件来解决无反射和任意入射角度的问题。

      为了证明PRB+PML仿真模型的有效性，以最简单的三层平板波导为例进行复模式的特性分析。如图1所示，三层平板波导的芯层、下包层和上包层的折射率分别是n1，n2和n3。波导仿真模型的上下由PML+PRB边界组成，以此来模拟自由空间。

图1 BOX和吸收边界波导模型

      用有限差分法对该三层平板波导的亥姆霍兹方程进行差分计算，得到复模式的有效折射率和电场分布。图2是模式的有效折射率分布和PML参数的关系。仿真中用到的三层折射率从下包层到上包层分别是1.44,3.47和1.44。三层的厚度分别是0.5μm，0.22μm和0.5μm。PML的厚度为1μm。从图2看出，随着反射率RPML的减小也就是损耗因子的增加，模式的折射率分布向右移动，这说明有更多的能量分布在PML区域。从图2以看出，当增加损耗因子kx，折射率分布谱向左移动，说明复模逐渐变为倏逝模。

图2 复模式的有效折射率和PML参数的关系：（a）与PML反射率的关系，此时k=1；（b）与PML参数k的关系，此时RPML=0.01

      图3中展示的是第10阶复模的场分布随着PML反射率的变化，随着反射率的降低，越来越多的能量会集中分布在PML区域。在波导中的场分布随着x坐标轴的变化不大，其分布更接近于平面波的场分布。

图3 第10阶复模式的场分布和PML反射率的关系，k=1

      另一个衡量复模式性能的参数是模式的正交性。图4是模式的正交性的图。从图中可以看出，高阶复模出现不正交的情况，这主要是由PML的引入，使得光波导模型由实坐标域变换到复坐标域造成的。解决复模式的正交性是计算电磁波辐射场的前提。

图4 复模式的正交性。（a）普通PML波导模型；（b）上海曼光“MAXOPTICS”软件中采用的PML波导模型