关于阶谱单元

Linda010

阶谱单元往往用在自适应分析中。阶谱单元是指在单元网格划分不变的情况下提高单元的阶次，来提高精度，此时已经形成的低阶单元的刚度等特性矩阵保持不变地仍被利用，从而提高编程和计算效率。

    根据教材的说法，对节点参数的理解不一定非要和某个节点的具体物理量联系起来，对于阶谱单元的各个“节点”（其实并不一定和某个具体节点相联系）参数不一定要通过某个具体节点的物理量去理解它。

   我想，根据单元的平衡方程Ka=P,对于位于角点的节点（如一维单元的两个端点处的节点、三角形单元三个顶点处的节点等），其对应的“位移”就是真实的位移，对于中间节点和其他的提高了单元的阶次的节点，其对应的“位移”就不一定是真实的位移，可能是其他的物理量甚至是无法理解的物理量，所以解出的a中既包含了“真实”的位移（端点和角点的真是位移）又包含了“虚假”的位移（其他节点的其他物理量）。问题是怎样根据这些“真实”的和“虚假”的位移来插值求单元内任意一点的真实位移？插值求单元内任意一点的真实位移时是否应用这些“虚假”的位移？另外，单元从低阶升到高阶，角点和端点处的节点的位移值的计算精度一定会提高吗？

Linda010

对于一般的低阶单元，如果升到高阶单元，它的计算精度会提高。那么，这个精度的提高表现在那些方面呢？是计算所求的节点位移的精度提高了呢，还是节点位移精度不变但是由于采用高阶的插值函数从而使得单元内任意一点的位移的计算精度提高了呢？

tonnyw

精度提高是指相对什么样的范数而言。比如对于L2范数 ||uex -ufe ||_L2 <=C*h^p,对于H_1范数||uex-ufe||_H1 <=C*h^(p-1).
我们可以看到随着单元次数的提高，误差减小，即计算精度提高。一般不讨论某一点的精度，而是总体上考虑计算精度。比如对于一些一维问题，节点处的有限元解既是精确解，即误差为零，单元的阶数对节点的精度没有影响。

Linda010

如果精度的提高是相对解析解而言，该如何看待这个问题？如果对于二维和三维单元，阶数对节点的精度也没有影响吗？

我想起一个问题。对于4节点矩形平面单元，在纯弯矩作用下，会发生剪切锁死，节点处的剪应变被夸大，导致结果失真，如果采用8节点的单元，则情况大为好转。那是否可以认为阶数的提高可以改善节点处的解的精度呢？

tonnyw

精度的提高是相对真实解而言，真实解大多数情况下是未知的。单元的阶数越高，单元越细分，有限元解越接近真实解。

Linda010

单元内任意一点的位移值是通过节点的位移值插值得到的。单元阶数越高，表明单元内任意一点的位移值插值插的越准。节点的位移值是解方程组直接求出的。相对于低阶的单元，同样都是角点处的节点，为什么高阶单元的角点处的节点的位移值就要更加准确一点呢？理论根源何在？

tonnyw

高阶单元的角点处的节点的位移值也可以通过节点的位移值插值得到的，其数值所得到的解一样。

Linda010

多谢tonnyw。我还是有点不明白。比如，如下图所示的一阶和二阶单元，对于节点1、2、3来说，是否（b）的位移解更加精确？

[ 本帖最后由 Linda010 于 2006-10-23 22:05 编辑 ]

tonnyw

Of course. Don't you see the convergence rate follows the rule: ||uex -ufe ||_L2 <=C*h^p and ||uex-ufe||_H1 <=C*h^(p-1)? where p denotes the polynomial order and h is the mesh size. But all the formulae apply to the asymptotic case.

Linda010

惭愧那公式还没怎么看懂。另外，从形函数的确定、刚度矩阵的形成、线性代数方程的求解等角度该如何看待这个问题？

阶数提高了，插值精确了，刚度矩阵变大了，求解规模变大了，那节点的位移精度为什么就一定提高呢？

tonnyw

有限元是用分片多项式来逼近精确解。有限元解是求解得到的解向量和分片多项式的线性组合。解的精度提高可以通过增加多项式的个数，即增加单元数，或者只增加多项式次数，或者两者同时增加。多项式个数越多，次数越高，有限元解越接近真实解，即任意取一点的坐标带入有限元解的表达式，所得到的结果接近精确解。这任意点当然包括单元的顶点。实际上对于阶谱单元，顶点处的形函数值为1，即是解向量。

Linda010

多谢！欢迎继续发表高见。··············································