关于非线性优化fminbnd函数的说明（仅供新手参考）

yxzjs

初学matlab优化，迭代中止后，经常一头雾水。参看帮助后仍似懂非懂。下面关于fminbnd函数的说明（也可作为fmincon函数的参考）对于新手也许会有帮助，不当之处请指正。
目标函数fun:
       需要最小化的目标函数。fun函数需要输入标量参数x，返回x处的目标函数标量值f。可以将fun函数指定为命令行，如
             x = fminbnd(inline('sin(x*x)'),x0)
同样，fun参数可以是一个包含函数名的字符串。对应的函数可以是M文件、内部函数或MEX文件。若fun='myfun'，则M文件函数myfun.m必须有下面的形式：
            function f = myfun(x)
            f = ...            %计算x处的函数值。
若fun函数的梯度可以算得，且options.GradObj设为'on'（用下式设定）,
            options = optimset('GradObj','on')
则fun函数必须返回解x处的梯度向量g到第二个输出变量中去。注意，当被调用的fun函数只需要一个输出变量时（如算法只需要目标函数的值而不需要其梯度值时），可以通过核对nargout的值来避免计算梯度值。
function [f,g] = myfun(x)
f = ...          %计算x处得函数值。
if nargout > 1   %调用fun函数并要求有两个输出变量。
   g = ...       %计算x处的梯度值。
end

若Hessian矩阵也可以求得，并且options.Hessian设为'on',即,
           options = optimset('Hessian','on')
则fun函数必须返回解x处的Hessian对称矩阵H到第三个输出变量中去。注意，当被调用的fun函数只需要一个或两个输出变量时（如算法只需要目标函数的值f和梯度值g而不需要Hessian矩阵H时），可以通过核对nargout的值来避免计算Hessian矩阵
function [f,g,H] = myfun(x)
f = ...     % 计算x处得函数值。
if nargout > 1   % 调用fun函数并要求有两个输出变量。
   g = ...    % 计算x处的梯度值。
   if nargout > 2
   H = ...    % 计算x处的Hessian矩阵。
end

优化参数选项options:
        可以通过optimset函数设置或改变这些参数。其中有的参数适用于所有的优化算法，有的则只适用于大型优化问题，另外一些则只适用于中型问题。
      首先描述适用于大型问题的选项。这仅仅是一个参考，因为使用大型问题算法有一些条件。对于fminunc函数来说，必须提供梯度信息。
LargeScale – 当设为'on'时使用大型算法，若设为'off'则使用中型问题的算法。
      适用于大型和中型算法的参数：
Diagnostics – 打印最小化函数的诊断信息。
Display – 显示水平。选择'off'，不显示输出；选择'iter'，显示每一步迭代过程的输出；选择'final'，显示最终结果。打印最小化函数的诊断信息。
GradObj – 用户定义的目标函数的梯度。对于大型问题此参数是必选的，对于中型问题则是可选项。
MaxFunEvals – 函数评价的最大次数。
MaxIter – 最大允许迭代次数。
TolFun – 函数值的终止容限。
TolX – x处的终止容限。

  只用于大型算法的参数：
Hessian – 用户定义的目标函数的Hessian矩阵。
  HessPattern –用于有限差分的Hessian矩阵的稀疏形式。若不方便求fun函数的稀疏Hessian矩阵H，可以通过用梯度的有限差分获得的H的稀疏结构（如非零值的位置等）来得到近似的Hessian矩阵H。若连矩阵的稀疏结构都不知道，则可以将HessPattern设为密集矩阵，在每一次迭代过程中，都将进行密集矩阵的有限差分近似（这是缺省设置）。这将非常麻烦，所以花一些力气得到Hessian矩阵的稀疏结构还是值得的。
MaxPCGIter – PCG迭代的最大次数。
  PrecondBandWidth – PCG前处理的上带宽，缺省时为零。对于有些问题，增加带宽可以减少迭代次数。
  TolPCG – PCG迭代的终止容限。
  TypicalX – 典型x值。
  
  只用于中型算法的参数：
DerivativeCheck – 对用户提供的导数和有限差分求出的导数进行对比。
DiffMaxChange – 变量有限差分梯度的最大变化。
DiffMinChange - 变量有限差分梯度的最小变化。
LineSearchType – 一维搜索算法的选择。

exitflag:描述退出条件
exitflag>0 表示目标函数收敛于解x处。
exitflag=0 表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
exitflag<0 表示目标函数不收敛。

output:
      该参数包含下列优化信息：
output.iterations – 迭代次数。
output.algorithm – 所采用的算法。
output.funcCount – 函数评价次数。
output.cgiterations – PCG迭代次数（只适用于大型规划问题）。
output.stepsize – 最终步长的大小（只用于中型问题）。
  output.firstorderopt – 一阶优化的度量：解x处梯度的范数。

[ 本帖最后由 yxzjs 于 2008-1-9 23:09 编辑 ]

yxzjs

建议：
1．对于求解平方和的问题，fminunc函数不是最好的选择，用lsqnonlin函数效果更佳。
2．使用大型方法时，必须通过将options.GradObj设置为'on'来提供梯度信息，否则将给出警告信息。

关于算法：
大型优化算法  若用户在fun函数中提供梯度信息，则缺省时函数将选择大型优化算法，该算法是基于内部映射牛顿法的子空间置信域法，理论描述可参见文献[8],[9]。计算中的每一次迭代涉及到用PCG法求解大型线性系统得到的近似解。
中型优化算法  此时fminunc函数的参数options.LargeScale设置为'off'。该算法采用的是基于二次和三次混合插值一维搜索法的BFGS拟牛顿法。该法通过BFGS公式来更新Hessian矩阵。通过将HessUpdate参数设置为'dfp'，可以用DFP公式来求得Hessian矩阵逆的近似。通过将HessUpdate参数设置为'steepdesc'，可以用最速下降法来更新Hessian矩阵。但一般不建议使用最速下降法。
缺省时的一维搜索算法，当options.LineSearchType 设置为'quadcubic'时,将采用二次和三次混合插值法。将options.LineSearchType设置为'cubicpoly'时，将采用三次插值法。第二种方法需要的目标函数计算次数更少，但梯度的计算次数更多。这样，如果提供了梯度信息，或者能较容易地算得，则三次插值法是更佳的选择。

局限性：
1．目标函数必须是连续的。fminunc函数有时会给出局部最优解。
2．fminunc函数只对实数进行优化，即x必须为实数，而且f(x)必须返回实数。当x为复数时，必须将它分解为实部和虚部。
3．在使用大型算法时，用户必须在fun函数中提供梯度（options参数中GradObj属性必须设置为'on'）。
4．目前，若在fun函数中提供了解析梯度，则options参数DerivativeCheck不能用于大型算法以比较解析梯度和有限差分梯度。通过将options参数的MaxIter 属性设置为0来用中型方法核对导数。然后重新用大型方法求解问题。