求助：求解带参数的微分方程时如何限定参数属于正实数？

chji168168

一个弹性地基梁的微分控制方程，参数Lambda为正实数，求出的解应无虚部，但求解出现复数，我想求解时将参数Lambda为正实数作为条件列入，试了不少方法弄不出来，请高手点拨一下。
de[x_, y_] := (D[w[x], {x, 4}] + (Sqrt[2] \[Lambda])^4 w[x] == 0)
SolnRule = DSolve[de[x, y], w[x], x]
w1[x_] = Simplify[w[x] /. SolnRule[[1]]];
ComplexExpand[w1[x]]

\[Lambda] \[Element] Reals && \[Lambda] > 0

ggggwhw

$Assumptions = \[Lambda] > 0;
是假定λ＞０但是好像对求解微分方程无效，
不过 EulerGamma也是一个大于０小于１的常数，我觉得它应该不会影响你的方程的解．所以你可以将λ换成 EulerGamma，然后解方程，将方程的解中的 EulerGamma再换成λ．
虽然π，和ｅ也是常数但是它们可能会改变解的形式．

waynebuaa

这个微分方程未免也太简单了。
四阶一定有四个常数，而结果一定是四个根的组合。

希望楼主不要过分依赖软件

waynebuaa

1# chji168168

特征方程的四个根都是复数，但这四个特征根的虚部和实部都只有lamdda*x,-lamdda*x这两种情况，再根据积分常数有四个，容易得知通解是：

E^(ax)*cos(ax)*C1+E^(-ax)*cos(ax)*C2+(E^(ax)*sin(ax)*C3+E^(-ax)*sin(ax)*C4)i

waynebuaa

4# waynebuaa
当然了，一定要用Mathematica，也可以，代码是：

1. 
   
2. $Assumptions = Element[x, \[Lambda]] > 0;ComplexExpand[w[x] /. First@DSolve[D[w[x], {x, 4}] + (Sqrt[2] \[Lambda])^4 w[x] == 0, w[x], x, GeneratedParameters -> (Subscript[C, #] &)]]
   
3. 
   

复制代码

可以看得出来，Mathematica给的解还不如人给的解简洁

chji168168

惭愧，我搞错了，无论参数lamda是否正实数或复数，该微分方程的解答都是mathematica给出的复数解，人工求解也是这样，ggggwhw的怀疑是对的，要求出实数解，要利用微分方程理论，复数解的虚部及实部均是微分方程的解，实部解和虚部解相互独立，二者组合即给出实数解，我刚刚查了常微分方程一书。
这个问题的解答是利用物理意义，无穷远处解趋于0，得C3、C4为0，再实部贡献Cos项，虚部贡献Sin项，解答有两个常数，a＝C1+C2,b=C1-C2,
多谢楼上各位的帮助

ggggwhw

其实我也遇见过和你一样的情况,当时我的处理方法是,自己定义函数,

1. (*解微分方程 y'[x] + p[x]*y[x] == q[x] *)
   
2. jiewf[px_, qx_, bianliang_, canshu_] :=
   
3.   Module[{jieguo},
   
4.    jieguo =
   
5.     E^-\[Integral]px \[DifferentialD]bianliang (canshu + \[Integral]qx
   
6. \!\(\*SuperscriptBox["\[ExponentialE]",
   
7. RowBox[{"\[Integral]",
   
8. RowBox[{"px",
   
9. RowBox[{"\[DifferentialD]",
   
10.              "bianliang"}]}]}]]\) \[DifferentialD]bianliang)
    
11.    ];
    
12. (*解微分方程 y''[x] + p*y'[x] + q*y[x] == 0 *)
    
13. jiewf2[px_, qx_, bianliang_, genshu_, canshu_] :=
    
14. Module[{jieguo, gen},
    
15.   gen = genshu;
    
16.   If[gen == -1,
    
17.    If[px^2 - 4 qx < 0, gen = 0];
    
18.    If[px^2 - 4 qx == 0, gen = 1];
    
19.    If[px^2 - 4 qx > 0, gen = 2];
    
20.    ];
    
21.   If[gen == 0,
    
22.    jieguo =
    
23.     E^(-(px/2)
    
24.         bianliang) (canshu[[1]]*Cos[Sqrt[4 qx - px^2]/2 bianliang] +
    
25.        canshu[[2]]*Sin[Sqrt[4 qx - px^2]/2 bianliang]),
    
26.    If[gen == 1,
    
27.     jieguo =
    
28.      E^(-(px/2) bianliang) (canshu[[1]] + canshu[[2]]*bianliang),
    
29.     If[gen == 2,
    
30.      jieguo =
    
31.       canshu[[1]]*E^(-((px - Sqrt[px^2 - 4 qx])/2) bianliang) +
    
32.        canshu[[2]]*E^(-((px + Sqrt[px^2 - 4 qx])/2) bianliang),
    
33.      jieguo =
    
34.       E^(-(px/2)
    
35.           bianliang) (canshu[[1]]*Cos[Sqrt[4 qx - px^2]/2 bianliang] +
    
36.           canshu[[2]]*Sin[Sqrt[4 qx - px^2]/2 bianliang])
    
37.      ]
    
38.     ]
    
39.    ];
    
40.   jieguo
    
41.   ]

复制代码

当然我的数学能力不是很强所以只写了两种简单情况,然后输入参数后就可以解出对于的微分方程的解了.