求两端固结梁的自振频率解析表达式（横向振动）

2015james · 发表于 2010-8-22 08:23:03

查了好几本书，都没有，请哪位能指教一下，给你表达式（横向振动）。谢谢

tonnyw · 发表于 2010-8-22 09:03:25

It is something very easy. You might give it a try to do it yourself.
http://www.aoe.vt.edu/~mpatil/courses/BeamVibrations.pdf

hjli6 · 发表于 2010-8-22 11:50:47

2# tonnyw

很好的资料, 注意这个公式对细长梁适用, 短梁是不准的.

2015james · 发表于 2010-8-22 15:33:13

3# hjli6
恩，这个是欧拉梁的公式，不是铁木辛柯梁

2015james · 发表于 2010-8-22 15:44:54

本帖最后由 2015james 于 2010-8-22 16:27 编辑

我在推导这个，过程和解悬臂梁的自振频率很相似，解悬臂梁时有一个超越方程1+cos(x)cosh(x)=0，Clough和Chopra书上给出了超越方程的解。
在解两端固结梁的过程中也有一个超越方程，1-cos(x)cosh(x)=0，我试着用mathematics在解这个（先把图画出来，然后再根据图像找解，但我担心这样找的不准，会漏解），各位有什么好的建议？

pasuka · 发表于 2010-8-23 09:14:47

去图书馆找这本书
Formulas for natural frequency and mode shape
作者：Robert D. Blevins

2015james · 发表于 2010-8-23 10:11:18

6# pasuka
谢谢，你说的那本书还没找到，能否给传一份电子版的？2015James@sina.com
这个频率我算出前10阶的了，就是不知道正不正确

pasuka · 发表于 2010-8-23 10:32:23

手头没有电子版
只考虑前10阶自振频率系数的话，找找别人发的文章，很多都有列出理论解作为对比；或者用CAE软件试算

tonnyw · 发表于 2010-8-23 11:06:04

5# 2015james

I used to solve the transcendental equation this way using Maple. I think it is okay. First, you choose a wide range to decide roughly at which point the transcendental equation is zero. Then you focus on each one of the zero points, shrink the plot interval until the interval is within the digits you are happy with.

2015james · 发表于 2010-8-23 14:02:53

本帖最后由 2015james 于 2010-8-23 14:09 编辑

9# tonnyw 我昨晚上算出来的，和你说的差不多，我就是用mathematics从1开始，间隔为1，算到20多的时候就算出来前10阶频率了
结果是：圆频率Wn=[(n+0.5)Pi]^2*Sqrt[EI/(mL^4)] (n>4)
n<5时，(n+0.5)Pi分别替换为4.7300，7.8532，10.9956，14.1372

结果应该是正确的，若有错误的地方大家指正。

谢谢tonnyw的提醒“It is something very easy. You might give it a try to do it yourself.
”，有时候自己就懒了，想找个捷径，其实算一算还是小有成就感的，呵呵

pasuka · 发表于 2010-8-24 09:06:40

去找曹志远、Y.K.Cheung的《半解析数值方法》，附录里面有不同边界条件下欧拉梁自振频率系数的

2015james · 发表于 2010-8-24 09:29:12

11# pasuka
谢楼上，和10楼的结果比较一下，是正确的

hjli6 · 发表于 2010-8-24 22:29:50

本帖最后由 hjli6 于 2010-8-24 23:38 编辑

用FEA验算一下, 前二阶频率, 当高跨比大于40时, 一阶频率能对得上. FEA的结果还是比较准的, 跟试验值的误差也就1Hz..

		1B	2B	1B	2B	1B	2B	1B	2B	1B	2B
L	mm	100	100	200	200	300	300	400	400	500	500
D	mm	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
W	mm	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
Ix	mm^4	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33
!y	mm^4	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33	833.33
A	mm^2	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
lou	Kg/mm^3	7.83E-09	7.83E-09	7.83E-09	7.83E-09	7.83E-09	7.83E-09	7.83E-09	7.83E-09	7.83E-09	7.83E-09
E	N/mm^2	206940	206940	206940	206940	206940	206940	206940	206940	206940	206940
Freq	Hz	5285	14568	1321.20	3641.94	587.20	1618.64	330.30	910.48	211.39	582.71
FEA Freq	Hz	5040	12970	1309.00	3536.00	585.50	1599.00	330.00	904.90	211.4	580.7

pasuka · 发表于 2010-8-25 08:43:08

用FEA验算一下, 前二阶频率, 当高跨比大于40时, 一阶频率能对得上. FEA的结果还是比较准的, 跟试验值的误差也就1Hz..

1B2B1B2B1B2B1B2B1B2BLmm100100200200300300400400500500Dmm10101010101010101010Wmm10101010 ...
hjli6 发表于 2010-8-24 22:29

欧拉梁有解析解的呀～曹志远的书附录后面就有
倒是铁木辛哥梁没有解析表达式，需要用数值方法计算

2015james · 发表于 2010-8-25 09:04:41

14# pasuka
欧拉梁有解析解，为什么人们还在研究数值解呢？比如有人做各种（一致质量矩阵，集中质量矩阵，混合质量矩阵）以使频率求的更精确，既然有解析解，振型和频率都有，为什么不用解析解呢，我也在想这个问题。

tonnyw · 发表于 2010-8-25 10:10:05

For a simple model, you can find analytical solution. What about for a model like Bird's Nest/Olympic Stadium? Can you get analytical solution?

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