杆的最大长度(趣味问题)

lin2009

如图所示的一个走廊，能从一端到另一端在地面上滑动通过的杆为L，试求L的最大值。
已知

lin2009

参考答案如下，过程暂时不贴出，先让大家试试看。
l: 32.3070077214581
alpha: 0.613180525650986

显然，L的最大长度应该满足方程：
L = L2/sin(pi - gamma - alpha) + L1/sin(alpha)

可以用多种方法求得该最大值（可以有解析解和数值解）。
应该说应用1stopt的方法最简便。

lin2009

从1＃图上可知，杆的最大长度必须要满足下面的条件：

能在地面上滑动通过走廊的杆的最大长度，必定是L的最小值。

优化目标函数是：
min  L2/sin(pi - beta1 - alpha) + L1/sin(alpha)
优化变量是

方法1、采用1stopt方法；
用1stopt表示的优化问题：

1. constant L1 = 9, L2 = 10, beta1 = 3/5*pi;
   
2. Parameter 0 < alpha < pi - beta1;
   
3. minfunction L;
   
4. L = L2/sin(pi - beta1 - alpha) + L1/sin(alpha);

复制代码

= == == = 结果 = == == =
迭代数 : 20001
计算用时(时 : 分 : 秒 : 毫秒) : 00:00:30 : 781
计算中止原因 : 达到最大迭代数
优化算法 : 鲁棒简面体爬山法 + 通用全局优化法(SM3)
函数表达式 : l
目标函数值(最小) : 32.3070638443789
alpha:0.614032211739331
l:32.3070638443789
约束函数
   1:l - (10/sin(pi - 1.88495559215388 - alpha) + 9/sin(alpha)) = 0
= == == = 计算结束 = == == =

方法2、结合绘图进行寻优；
这是一元函数的最优化问题，因此也可将图画出，再寻找最优点。如下图所示：

3、先进行理论推导，得出最优点发生的条件，再求解方程。
也可以在进行直接计算的方法：《Matlab科学计算》, 清华大学出版社，p46。
当且仅当 alpha满足下面方程时，L有最小值。

求解alpha,并代入L的表达式，可以得到相同的结果。

lin2009

后续问题：如何得出最优点发生的条件呢？即

方程是如何得出的呢？

shamohu

那段1stOpt代码运行了下，换一下其它算法结果似乎更快更好：

1. 
   
2. Algorithm = SM1[30];
   
3. constant L1 = 9, L2 = 10, beta1 = 3/5*pi;
   
4. Parameter 0 < alpha < pi - beta1;
   
5. minfunction L;
   
6. L = L2/sin(pi - beta1 - alpha) + L1/sin(alpha);
   

复制代码

计算用时(时:分:秒:毫秒): 00:00:00:266
计算中止原因: 达到收敛判定标准
优化算法: 标准简面体爬山法 + 通用全局优化法(SM1)
函数表达式: l
目标函数值(最小): 32.3070077214083
alpha: 0.61318052831074
l: 32.3070077214083

约束函数:
   1: l-(10/sin(pi - 1.88495559215388 - alpha) + 9/sin(alpha)) = -4.978772949E-11

lin2009

5# shamohu
"那段1stOpt代码运行了下，换一下其它算法结果似乎更快更好",
为什么说结果似乎更好呢？楼主没有明确说明。

其实从结果本身是看不出来的。
应该与实际值相比，才能判断准确程度。

3＃的第三种方法最为准确（经理论推导的为实际值）。相应的1stopt代码和结果如下：

1. constant L1 = 9, L2 = 10, beta1 = 3/5*pi;
   
2. function L = L2/sin(pi - beta1 - alpha) + L1/sin(alpha);
   
3. L2*cos(pi - beta1 - alpha)/(sin(pi - beta1 - alpha))^2 - L1*cos(alpha)/(sin(alpha))^2 = 0;

复制代码

====== 结果 ======
迭代数: 18
计算用时(时:分:秒:毫秒): 00:00:00:329
计算中止原因: 达到收敛判定标准
优化算法: 通用全局优化法(UGO1)
函数表达式 1: l -( 10/sin(pi - 1.88495559215388 - alpha) + 9/sin(alpha)) = 0
         2: 10*cos(pi - 1.88495559215388 - alpha)/(sin(pi - 1.88495559215388 - alpha))^2 - 9*cos(alpha)/(sin(alpha))^2
            -( 0) = 2.273985444E-10
目标函数值(最小): 1.26217744835362E-29
l: 32.3070077214581
alpha: 0.613180525650986
====== 计算结束 ======

可以看出3＃的方法2也很准确（绘图并结合一维寻优方法，如黄金分割法、斐波纳契法等，操作较麻烦）。

问题是直接利用1stopt方法，操作最方便，但是算法选择不当，可能存在精度不足的问题。
这在一定程度上可以 用多次运行程序选择最佳结果的方法（1stopt中自动完成）来弥补。
相应的程序和结果如下：

1. MultiRun = 10;// 运行10次，取其最优！
   
2. constant L1 = 9, L2 = 10, beta1 = 3/5*pi;
   
3. Parameter 0 < alpha < pi - beta1;
   
4. minfunction L;
   
5. L = L2/sin(pi - beta1 - alpha) + L1/sin(alpha);

复制代码

====== 结果 ======
重复计算最佳目标函数: 32.3070077214581
重复计算求得最佳目标函数次数: 2
重复计算最差目标函数: 63.3943822955649
重复计算平均目标函数: 35.9559572576879
重复计算总用时: 0:00:16
优化算法: 通用全局优化法(UGO2)
函数表达式: l
目标函数值(最小): 32.3070077214581
alpha: 0.613180520635929
l: 32.3070077214581
约束函数
   1: l-(10/sin(pi - 1.88495559215388 - alpha) + 9/sin(alpha)) = 0
====== 计算结束 ======

由此可见，利用数值方法进行的寻优，有其特殊性，结果不一定是最优，应该加以验证，并设法提高其精度（如1stopt中的多次运算取其最优的做法）。

futong

能给出数学建模，这个优化起来并不难。excel也可以求出。

wyb90118

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