线性科学向非线性科学的转变（转帖），大家讨论一下

2015james

线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。近代自然科学正是从研究线性系统这种简单对象开始的。由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。因而在经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。


　　线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才能建立一般原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。从运动形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函数表示，是连续的，可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整性有序结构的形成和维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。


　　在科学还处在主要以简单关系为研究对象的阶段，线性方法曾经是十分有效的。线性关系容易思考，容易解决，可以把它一块块地分割开进行考察，然后再一块块地拼合起来。所以线性关系让人喜爱。而非线性问题、非线性方程往往是桀骜不驯、个性很强的，很难找到普遍的解决方法，只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采取特殊的处理方法。所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大量存在的非线性问题相比，只算是凤毛麟角；甚至人们一遇到非线性系统或发现方程中的非线性项时，就想尽办法回避，或加以舍弃，使之“线性化”。


　　流体动力学中描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程、即著名的“纳维-斯托克斯方程”，把流体的速度、压力、密度和粘滞性全部联系起来，概括了流体运动的全部规律；只是由于它比欧拉方程多了一个二阶导数项，因而是非线性的，除了在一些特殊条件下的情况外，很难求出方程的精确解。分析这个方程的性态，“仿佛是在迷宫里行走，而迷宫墙的隔板随你每走一步而更换位置”。计算机之父冯·诺意曼（Neumann，Joha von 1903～1957）说：“这些方程的特性……在所有有关的方面同时变化，既改变它的次，又改变它的阶。因此数学上的艰辛可想而知了。”

所以，非线性系统长期以来被冷落在科研领域的视野以外。当遇到非线性系统时，科学家们就代之以线性近似。甚至在教科书中，也充满了线性分析成功的内容，“非线性”一词大都只在书末一带而过地提一下。除了几个可解的非线性范例之外，那里讲的不过是如何把一些非线性方程约化成线性方程。这种训练的结果，把人们的思想禁锢在线性的陷阱里，致使到了20世纪40年代和50年代，许多科学家和工程师除此之外竟一无所知。一位著名的工程师甚至说过：“上帝不会不仁得使自然界的方程成为非线性的”。伊恩·斯图尔特感叹地说：“如果你断定，只有线性方程才值得研究，那无异于自我禁锢。你的课本充满了线性分析的成功，它的失败埋藏得如此之深，以致连坟墓都看不见，坟墓的存在也没人注意。如同18世纪笃信钟表世界一样，20世纪中叶则恪守线性世界。”①伊恩·斯恩尔特非常诙谐地揶揄说：“称一般微分方程为‘非线性’方程，好比把动物学叫做‘非象类动物学’。但是你明白，我们生活在这样一个世界里，多少世纪以来它以为现存的唯一动物就是大象，它设想壁脚板上的洞是幼象凿的，它把翱翔的雄鹰当作耳朵变翼的呆宝②，把猛虎当做身披花纹的短鼻子大象。它的分类学家们则施行矫正手术，使得博物馆的动物标本清一色地由笨重的灰色象类动物组成。‘非线性’就是如此。”③到20世纪60年代以后，情况才有了改变。由于电子计算机的广泛应用和由此发展起来的“计算物理”和“实验数学”的方法的利用，人们从研究可积系统的无穷多自由度的非线性偏微分方程中，在浅水波方程中发现了“孤子”，并得出了一套一些类型非线性方程的解法；从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研究中，发现了确定性动力系统中存在着对初值极为敏感的混沌运动。人们越来越明白地认识到，“大自然无情地是非线性的。”在现实世界中，能解的、有序的线性系统才是少见的例外，非线性才是大自然的普遍特性；线性系统其实只是对少数简单非线性系统的一种理论近似，非线性才是世界的魂魄。恩里科·费米（Fermi，Enrico 1901～1954）说：“圣经中并没有说过一切大自然的定律都可以用线性方式来表示”。④而且正是非线性才造成了现实世界的无限多样性、曲折性、突变性和演化性。这样，就逐渐形成了贯穿物理学、数学、天文学、生物学、生命科学、空间科学、气象科学、环境科学等广泛领域，揭示非线性系统的共性，探讨复杂性现象的新的科学领域“非线性科学”。生态学和混沌学家罗伯特·梅（Robert，May）认为，目前全世界标准的科学教育，向人们灌输的是关于世界图景的偏见和歪曲的印象。不管线性的数学获得了多大的成功，都只能给学生一个关于实际大自然的普遍存在的非线性事实的失真形象。“如果像这样发展起来的数学直觉，会使学生即使看到离散非线性系统里最简单的古怪行为也会手足失措”。所以他向一切有文化的人呼吁，不仅在研究工作中，而且在日常生活中，包括政治、经济生活中，“如果更多的人了解到这最简单的非线性系统也未必有简单的动力性质，会大有裨益。”①如果能早日向中学生们讲一些非线性知识，那将使一切变得更好。

2015james

问题
1. 什么是线性，什么是非线性，不应该是我们简单理解的那种直线和曲线的关系吧？比如函数的定积分问题，可以用数值解法分成好多梯形的面积和来解决，这应该是线性问题，而如果求出解析解原函数来解决，这还是不是线性问题？或者已经成非线性问题了？是不是有些问题本身是非线性的，只是我们用线性来解释这样容易理解？
现有的算法中什么是非线性的？那些智能算法可以算做事非线性的吧，比如神经网络法模拟退火法，这一理解对不？
2.你觉得世界的根本是非线性的还是线性的？谈谈你对线性科学向非线性科学的转变看法，及其可能性。
欢迎参与讨论。

2015james

占座，预留问题。

绿色的农民

写的很好，强烈支持

dittoyi2

说得很好！我本人也在看非线性系统，对此深有体会

dittoyi2

我推荐大家看看华章数学的《动力系统导论》这本书，会有更好的认识

方枪枪

我赞成非线性是大自然的普遍特征，这与《易经》的观点类似

sunfuting

个人认为线性与非线性的大范围讨论使很困难的，它本质上是一个哲学问题。而对于我们来说，研究某一领域的非线性问题似乎更适合。我是搞力学的，我就对力学中的非线性比较感兴趣，大家可以一起来讨论。至于对这个世界的根本到底是线性还是非线性，我更侧重于是非线性的，因为线性显然是非线性的一种特例！

liuichini

现实世界当然是非线性的，而线性化的处理不过是近似。只是在很多场合，这种近似已经可以满足我们的要求罢了。
当线性化处理离实际相距甚远时，就必须考虑其非线性特性了。
非线性问题的难度太大，估计一时半会不大有突破，不过，研究非线性问题不仅带来实际的好处，还可以给研究者带来美的享受。

xucescut2011

拜读了，似懂非懂。线性与非线性是系统中子系统的独立与耦合？