关于应力张量的对称性问题

nongda · 发表于 2011-1-10 19:46:15

本帖最后由 nongda 于 2011-1-10 20:24 编辑

这两天写到毕业论文的理论部分。
关于应力张量的对称性有些迷惑。于是上来求教。。。和大家讨论讨论
考虑三维弹性问题
$-\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{\sigma} = \mathbf{f}\;\;\;\;\;\;\mathrm{in}\;\;\;\Omega$

$\mathbf{\varepsilon} = \frac{1}{2} (\mathbf{\nabla}\mathbf{u}+(\mathbf{\nabla}\mathbf{u})^T) \;\;\;\;\;\;\mathrm{in}\;\;\;\Omega$

$\mathbf{u} = \mathbf{0}\;\;\;\;\;\;\mathrm{on}\;\;\;\partial\Omega_{\mathrm{D}}$

$\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{n} = \mathbf{h}\;\;\;\;\;\;\mathrm{on}\;\;\;\partial\Omega_{\mathrm{N}}$
应用加权余量法（Method of Weighted Residuals）乘以试函数（权函数） $\delta\mathbf{w}$ 并积分可以得到该问题的弱形式（weak form）
$\int_{\Omega}\delta\mathbf{w} \cdot (\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{\sigma}) ~\mathrm{d}\Omega+ \int_{\Omega}\delta\mathbf{w} \cdot \mathbf{f} ~\mathrm{d}\Omega = \mathrm{0}\\$
分步积分，散度定理的推导形式：
$\int_{\Omega}\delta\mathbf{w} \cdot (\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{\sigma}) ~\mathrm{d}\Omega=\int_{\partial\Omega_\mathrm{N}}\delta\mathbf{w} \cdot (\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{n}) ~\mathrm{d}\partial\Omega_\mathrm{N} -\int_{\Omega}\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}) : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega\\$
应用分步积分后重写方程：
$\int_{\Omega}\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}) : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega - \int_{\partial\Omega_{\mathrm{N}}}\delta\mathbf{w} \cdot (\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{n}) ~\mathrm{d}\partial\Omega_{\mathrm{N}} - \int_{\Omega}\delta\mathbf{w} \cdot \mathbf{f} ~\mathrm{d}\Omega = \mathrm{0}\\$
对第一项进行处理：
当应力张量对称时，即 $\mathbf{\sigma}=\mathbf{\sigma}^T$
$\int_{\Omega}\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}) : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega =\int_{\Omega}(\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}))^T : \mathbf{\sigma}^T ~\mathrm{d}\Omega$
$=\int_{\Omega}(\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}))^T : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega$
$=\frac{1}{2}(\int_{\Omega}\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}) : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega+\int_{\Omega}(\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}))^T : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega)$
$=\int_{\Omega}\frac{1}{2}(\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}) \mathbf{\sigma}+(\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}))^T) : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega$
$=\int_{\Omega}\delta\mathbf{\varepsilon}(\mathbf{w}) : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega$
最后改写原方程第一项我们可以得到：
$\int_{\Omega}\delta\mathbf{\varepsilon}(\mathbf{w}) : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega - \int_{\partial\Omega_{\mathrm{N}}}\delta\mathbf{w} \cdot (\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{n}) ~\mathrm{d}\partial\Omega_{\mathrm{N}} - \int_{\Omega}\delta\mathbf{w} \cdot \mathbf{f} ~\mathrm{d}\Omega = \mathrm{0}\\$
当采用伽辽金（Galerkin）方法时取 $\delta\mathbf{u}$ 自己作为 $\delta\mathbf{w}$ 试函数
$\int_{\Omega}\delta\mathbf{\varepsilon} : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega - \int_{\partial\Omega_{\mathrm{N}}}\delta\mathbf{u} \cdot (\mathbf{\sigma}\cdot\mathbf{n}) ~\mathrm{d}\partial\Omega_{\mathrm{N}} - \int_{\Omega}\delta\mathbf{u} \cdot \mathbf{f} ~\mathrm{d}\Omega = \mathrm{0}\\$
即
$\int_{\Omega}\delta\mathbf{\varepsilon} : \mathbf{\sigma} ~\mathrm{d}\Omega - \int_{\partial\Omega_{\mathrm{N}}}\delta\mathbf{u} \cdot \mathbf{h} ~ \mathrm{d}\partial\Omega_{\mathrm{N}} - \int_{\Omega}\delta\mathbf{u} \cdot \mathbf{f} ~\mathrm{d}\Omega = \mathrm{0}\\$
这个和虚位移原理的表达式是一样的
我想问，
1, 我的推导过程有没有什么问题？
2，虚位移原理的数学理论基础是什么，就是伽辽金方法么？
3，应用伽辽金方法时如果应力张量 $\mathbf{\sigma}$ 不对称，是不是就不能推导出最后和虚位移原理一样的表达式。当不对称时还能用伽辽金法么？推导过程时什么样的？或者当不对称应该用什么方法推导呢

caoer · 发表于 2011-1-11 00:50:02

本帖最后由 caoer 于 2011-1-10 14:06 编辑

nice work, here is my comments.
1. $\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{\sigma} = \mathbf{f}\;\;\;\;\;\;\mathrm{in}\;\;\;\Omega$
2. $\sigma = c_{ijkl}\epsilon$ , subsititute this equation, you may get the irreductable form. (I am assuming you prefer the displacement method)
3. virtual displacement is a physical concept to me. it equals to the variational and test displacement mathmatically.
4. Galerkin is u = sum{u_i * N_i}, you may substitute it to the weak form of PDE, then yields the finite element form. recommend you read the Reddy's book
5. $\sigma$ is symmetric for solids because of the balance of angular momentum. The First Piola-Kirichoff stress may be unsymmetric.
6. 当不对称时还能用伽辽金法么？- yes you can. they dont conflict. recommend you read one classic continuum mechanics book.
just my 2cents.
good luck,dude

nongda · 发表于 2011-1-11 18:57:14

本帖最后由 nongda 于 2011-1-11 20:37 编辑

2# caoer
多谢ls的解释，我得去看看Reddy的书。看来不管Galerkin或者虚位移方法都不会和 $\sigma$ 是否对称冲突。只不过如果应力不对称的话可能不能得到1楼最后的式子
而是停留在分步积分后的形式
$\int_{\Omega}\mathbf{\nabla}(\delta\mathbf{w}) : \mathbf{C}_{ijkl} : \mathbf{\varepsilon} ~\mathrm{d}\Omega - \int_{\partial\Omega_{\mathrm{N}}}\delta\mathbf{w} \cdot \mathbf{h} ~\mathrm{d}\partial\Omega_{\mathrm{N}} - \int_{\Omega}\delta\mathbf{w} \cdot \mathbf{f} ~\mathrm{d}\Omega = \mathrm{0}$

另外关于1.
我觉得我原来的写法应该是通常的写法
物体内力平衡表达式为
$\sigma_{ji,j}+ f_i = 0 \,\!$
重新编排一下就是 $-\sigma_{ji,j} = f_i \,\!$

caoer · 发表于 2011-1-11 22:52:32

is f_i a body force or source?

tonnyw · 发表于 2011-1-11 23:01:39

1# nongda

Basically the question is whether the functional of a problem exists. If the stress tensor is symmetric, you have the functional. Otherwise, you don't have.

That's why Galerkin method is more general. You can say that the virtual displacement method is the subset of Galerkin method.

nongda · 发表于 2011-1-12 04:54:26

本帖最后由 nongda 于 2011-1-12 05:08 编辑

4# caoer
$f_i$ is a body force

nongda · 发表于 2011-1-12 05:23:56

5# tonnyw
我现在也开始怀疑虚位移原理的数学背景了
看起来，虚位移原理应该是一个纯物理的方法。
感觉它的数学基础应该是变分法，但是不确定。

caoer · 发表于 2011-1-12 06:12:13

1. f_i is body force, so it is a static system? i prefer to use b as body force. sorry for misunderstanding.
2. 虚位移 = 变分法 in solid mechanics

tonnyw · 发表于 2011-1-13 04:08:44

7# nongda
我个人认为使用变分法的前提是能量泛函存在。如果不存在，我们可以直接使用迦辽金法。国内的教科书太强调变分法了。以前上课的时候也听过变分法，稀里糊涂，现在一点印象都没有了。

nongda · 发表于 2011-1-13 07:26:35

本帖最后由 nongda 于 2011-1-16 04:44 编辑

8# caoer
我做的是frequency analysis，这里为了简便，便只写了static的表达式
整个过程我参考的比较多的是hughes的书，还有colorado大学FEM的课件以及Zienkiewicz的书。

bbssbb · 发表于 2011-1-14 08:45:56

建议楼主再仔细看看hughes那本书的前三章，
仔细理解弱形式，试函数空间和权函数空间的概念。
到时候你会发现，标准的迦廖金形式并不是把权函数换成试函数，
而是把试函数空间和权函数空间用相同的有限维空间近似。

nongda · 发表于 2011-1-14 12:34:02

本帖最后由 nongda 于 2011-1-14 12:44 编辑

11# bbssbb
就是说

（1）
中的 $\sigma$ 不是 $\sigma(u)$ ,而应该是试函数 $\sigma(\tilde{u})$
如果（1）中的 $\sigma$ 是准确解的话就不存在加权残差一说了是吧。
先有用 $\sigma(\tilde{u})$ 去尝试近似或符合【1】 $\sigma(u)$ 才会有
strong form

（2）
在 $\Omega$ 内不一定处处满足的状况
才需要用加权余量法去加权这个余量（残差）。。。。突然发现“残差”比“余量”更加形象
才会有积分形式的weak form的产生。
这样以来问题就变成了：
对于原函数 $u$ ，我们要找一个试函数（某个尝试的解） $\tilde{u}$ ，保证（2）式在 $\Omega$ 内加权积分后残差为零。
然后是伽辽金，该方法使用试函数本身作为权函数。
然后是离散，
当我们取试函数为 $\tilde{u} = N_i \cdot u_i$ 形式的时候，便是将原来的连续函数化为了n个型函数N_i的线性组合，系数为u_i，
这时还不能说是有限元，例如N_i取傅立叶数列
当我们进一步的将N_i按照一定的方式按空间分布在 $\Omega$ 全域上。
全域划分成有限个单元，每个单元里面都有自己的 $N^e_i$ 就得到了有限元的表达。这时 $u^e_i$ 就代表函数u(x)在单元节点上的值。

【1】（这里用“或符合”是应为试函数有可能真好取的就是准确解）

这样看来虚位移的weak form也是从它自己的strong form变化过来的是不是，就是加载虚位移后内应力做功和外力做功在每个无限小的的区域内都应该平衡，但是难以精确满足，于是就也扩展为了全域的积分。。。是不是啊

caoer · 发表于 2011-1-15 09:04:42

your questions are in cycle..
you better off check out a fundamental FEM book and dig that.
if your preference is Stanford clan, check out the FEAP theory manual, Hughes's book and several chapter of Simo's book about inelasticity

shenjunchao · 发表于 2011-1-15 15:47:03

谢谢楼主，这样的文章是太少了才对。对我们初学者很有用。。谢谢

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