请教一个一元六次方程求根的问题

nbulwc

大家好，我在用fzero求解一个一元六次方程求根所遇到了一个问题，举例如下：
clear;
format long
aa=0:2:10;                     （%即aa=0、2、4、6、8、10共六个已知数）
[email=y=@(aa]y=@(aa[/email]) arrayfun(@(a) fzero(@(x) x^6-2*a^2*x^4-3*x^2-4*a,1),aa);
     该一元六次方程中a为一变化的已知参数，x为要求解的根，按理说该方程在一确定的a之下有6个根，总共有36个根（包括复根）。
     但我知道fzero求根时，只能求解初值（如我取的1）附近的一个根，但我想把上述方程的全部根求解出来，而且只要实数根，请教各位版主老师和高手们是不是要用roots求解全部根（因为上述方程式一个多项式），或者可以用fsolve函数求解啊，看了matlab中help里这两个函数的解法，好像也不能解决我的问题。
     哪位好心人和大虾能帮帮忙，万分感谢！:loveliness:

wanglu

用Forcal求解，代码：

1. !using["fcopt"];
   
2. f(x,a)=x^6-2*a^2*x^4-3*x^2-4*a;
   
3. main(:i)= i=0, while{i<=10, isolve[HFor("f"), optsameabs,1e-3, optpara,i], i=i+2};

复制代码

-1.316074012952492        0.                        -8.881784197001252e-016
-6.135682211547814e-051   0.                        -1.129397886033128e-100
1.316074012952492         0.                        -8.881784197001252e-016
-2.90963535818638         2.                        6.394884621840902e-014
2.90963535818638          2.                        6.394884621840902e-014
-5.666476068423917        4.                        2.899014361901209e-012
5.666476068423917         4.                        2.899014361901209e-012
-8.488007045046921        6.                        -7.401013135677204e-011
8.488007045046921         6.                        -7.401013135677204e-011
-11.31483032145368        8.                        -4.114326657145284e-010
11.31483032145368         8.                        -4.114326657145284e-010
-14.14270124976946        10.                       5.32054400537163e-010
14.14270124976946         10.                       5.32054400537163e-010

maplelab

1# nbulwc
试试这个:

nbulwc

感谢wanglu，你的方法可行，但我用的是matlab，你的这个求解不能在matlab中用吧！
谢谢maplelab版主老师，你用的这个fsolve求解我不知道如何用，你采用的和matlab感觉有点不一样！在你们的求解结果下我发现所求解的根具有对称性，因为此函数是偶函数。我的源代码如下图：求解结果和你们一样，因为初值为1，所有求解的解都是正根。但这样只是能求解在初值1下的正根，能不能把在其它初值下的所有根都求出来。

nbulwc

求求maplelab版主老师能不能把你的求解方法再说的清楚一点，只是我是初学者，对你的方法不是很懂。我刚才用roots求根验证了一下，两位高手的方法都是正确的，而且是所求的全部实根，该方程只有那么多实根！
      多谢了！

maplelab

5# nbulwc

bainhome

看了matlab中help里这两个函数的解法，好像也不能解决我的问题

hoho...

1. clc;clear;
   
2. Resultsx=[];Resultsfval=[];
   
3. for i1=0:2:10
   
4.     for i=-100:2:100
   
5.         [x,fval]=fzero(@SolveLoop,i,[],i1);
   
6.         Resultsx=[Resultsx,x];
   
7.         Resultsfval=[Resultsfval,fval];
   
8.     end
   
9.     ind=find(Resultsfval<=1e-6);
   
10.     Resultsx=unique(roundn(Resultsx(ind),-5));
    
11.     assignin('base',['x',num2str(i1)],Resultsx);
    
12.     Resultsx=[];Resultsfval=[];
    
13. end

复制代码

新建一个函数：

1. function y=SolveLoop(x,a)
   
2. y=x.^6-2*a^2*x.^4-3*x.^2-4*a;

复制代码

答案：

1. >> x0
   
2. x0 =
   
3.    -1.3161         0    1.3161
   
4. >> x2
   
5. x2 =
   
6.    -2.9096    2.9096
   
7. >> x4
   
8. x4 =
   
9.    -5.6665    5.6665
   
10. >> x6
    
11. x6 =
    
12.    -8.4880    8.4880
    
13. >> x8
    
14. x8 =
    
15.   -11.3148   11.3148
    
16. >> x10
    
17. x10 =
    
18.   -14.1427   14.1427

复制代码

qibbxxt

1. clear;clc;close all
   
2. f=@(x,a)x.^6-2*a^2*x.^4-3*x.^2-4*a;
   
3. a0=2:2:10;
   
4. [res,fval]=arrayfun(@(a0)fzero(@(x)f(x,a0),a0),a0);

复制代码

1. res =
   
2. 
   
3.     2.9096    5.6665    8.4880   11.3148   14.1427
   
4. 
   
5. 
   
6. fval =
   
7. 
   
8.   1.0e-008 *
   
9. 
   
10.     0.0000   -0.0004   -0.0074   -0.0411   -0.1330

复制代码

nbulwc

谢谢6#maplelab版主老师的解答，很简洁，很容易懂，思路清晰，没想到roots函数也能编写成匿名函数形式，最后把复数根也求解出来了。
   感谢7#bainhome高手的解法，感觉您好强啊，编写的稍微难懂些，但解决的很好。
   多谢8#qibbxxt版主老师的回复，感觉和我的方法差不多，只是多了误差分析吧。
   看了上面三位高手写的代码，受益匪浅，你们无私的解答令我由衷的感谢你们。初学matlab,感觉很有难度的，看了三位高手们编写的程序，很是佩服，要向你们学习！再次感谢啦！

nbulwc

不好意思，能不能再请教一下maplelab、bainhome、qibbxxt三位老师和其他的高手们一下还是有关这个方程的问题。
      我按照你们的方法把此方程的根求解出来后，如果只要某一具体a值下（如a=2）的两个实根（可以像数学中的表示方法记为）xi(i=1、2)，并把xi代入下式中：
Ki=A/xi+B*xi+C*xi^2+D*xi^3+E*xi^4（其中A、B、C、D、E均为已知常数），请教这个循环要如何实现啊。
      另外，如果再加上a值变化下（a=0:2:10)，在每一个a取值下，把每次求解出来的根xi取出来代入上式中，以求解Ki值，一共6组Ki值，共6*2+2=14个Ki值（其中a=0时，改组有4个实数根，其他a之下都是2个实根），这个循环又要如何实现？
       谢谢了，多次麻烦，很是感激！

waynebuaa

这个其实就是一元三次方程阿 ,可以给出解析解的

nbulwc

谢谢waynebuaa，其实上面的方程只是我例举的一个例子，想通过这个方法来解决我要求解的一个问题，那样的话是没办法给出解析解的。不过还是谢谢你从数学方面的提醒！

rocwoods

10# nbulwc
在中文论坛我的书籍板块给你回了，这里再重新给你回一下，参考下下面代码：
包含复数根的情况：

1. 
   
2. f=@(a) roots([1 0 -2*a^2 0 -3 0 -4*a]);
   
3. AllRoots = arrayfun(f,0:2:10,'uniformoutput',0);
   
4. A = 1;B = 1;C = 1;D = 1;E = 1;
   
5. Ki = @(xi) A./xi+B*xi+C*xi.^2+D*xi.^3+E*xi.^4;
   
6. Result = cellfun(@(x) feval(Ki,x),AllRoots,'UniformOutput',0);
   

复制代码

不包含复数根的情况:

1. 
   
2. f=@(a) feval(@(x)x((imag(x)==0)),roots([1 0 -2*a^2 0 -3 0 -4*a]));
   
3. AllRoots = arrayfun(f,0:2:10,'uniformoutput',0);
   
4. A = 1;B = 1;C = 1;D = 1;E = 1;
   
5. Ki = @(xi) A./xi+B*xi+C*xi.^2+D*xi.^3+E*xi.^4;
   
6. Result = cellfun(@(x) feval(Ki,x),AllRoots,'UniformOutput',0);
   

复制代码

nbulwc

谢谢版主rocwoods吴鹏老师了，您太用心了。我验证了你的代码，可以的，太感谢了！