讨论一下样条有限元吧

chentao807

国内最先研究样条有限元的石钟慈院士，后面由沈鹏程发扬光大。到现在大约已经有30年的发展历史，除了80-90年度热过一段时间外，这种方法一直得不到深入应用。所以想和各位同仁讨论一下，这种方法的优点和缺点。以及它得不到广泛认可的原因，还有以后发展的方向。我先抛砖引玉，阐述自己的一些观点：
优点：
1。高阶连续性。（1）便于求解四阶问题（比如薄板或者膜问题）；（2）对于方形或者其它类似的规范形状，高阶连续性使得样条元法效率要明显高于传统有限元。
2。相比有限元法，样条元无需网格，可以归入无网格方法。

缺点：
1。由于形状函数没有插值性，所以难以本质边界条件。
2。对于模型形状要求为方形或者平行四边形，难以处理被裁减形状或者其它复杂几何。
3。中厚板方面的应用没有得到深入研究。

pasuka

个人觉得缺点1和2是要害，工程上没法进一步推广
不过，样条函数在CAGD领域用途非常广泛

tonnyw

国内最先研究样条有限元的石钟慈院士，后面由沈鹏程发扬光大。到现在大约已经有30年的发展历史，除了80-90年 ...
chentao807 发表于 2011-8-3 16:56

能否使用一个简单的问题来描述一下样条有限元？比如梁单元。

pasuka

能否使用一个简单的问题来描述一下样条有限元？比如梁单元。
tonnyw 发表于 2011-8-3 23:52

tonnyw

回复 4# pasuka

我是想使用一个简单的问题来说明一下样条有限元。这个文章数学味道太浓，需要时间消化。

pasuka

这篇文献大概容易理解一些，注意其中边界条件的处理部分
回复  pasuka

我是想使用一个简单的问题来说明一下样条有限元。这个文章数学味道太浓，需要时间消化。
tonnyw 发表于 2011-8-4 11:30

bbssbb

不需要密网格，应该需要更多的高斯点吧？

hillyuan

At first, 样条元无需网格，可以归入无网格方法 is not that sure. You need define a sub-volume to define a 样条. It is really a finite element. (I think they use spline-finite element to call this method).
Than consider it an a finite element, what it defers from classic displacement finite element is it uses spline interpolation(shape) function  while classic method uses lagrangian or serepidient ones. Generally you can use differrent type of shape functions such as trigonometric function, although those are rarely adopted. therefore, 样条有限元 is not that special.
When using 样条有限元, you could get a higher order interpolation insider an element. It is ture that 高阶连续性使得样条元法效率要明显高于传统有限元. However, it also means computation cost. A vital drawback of 样条有限元 it introduce new node in element boundary. It makes such method to implement. In my view, it is not worthing to spend much time in this method.

tonnyw

At first, 样条元无需网格，可以归入无网格方法 is not that sure. You need define a sub-volume to defin ...
hillyuan 发表于 2011-8-8 08:02

I guess people doing spline finite element mainly want to have publications even though there is no much use in real engineering applications.

pasuka

不需要密网格，应该需要更多的高斯点吧？
bbssbb 发表于 2011-8-7 23:51

样条元可以不用高斯积分，积分结果是事先精确计算好的
想来想去，最简单的例子还是沈鹏程老师的《结构分析中的样条有限元法》中，求解四边固定方板挠度和弯矩的例子，用样条元的话，手算一个很小的矩阵就能得到相当满意的计算结果
用超星的用户，可以下载看看这本书的，写得很容易看懂，且有Fortran源代码，相比另一本书《多变量样条有限元》要好很多

chentao807

前几天回家了。再谈谈我对样条有限元的看法，对于规范区域（例如矩形），样条元的效率高于有限元是毋庸置疑的，另外对于求解薄板问题（高阶连续），无限后置处理的应力磨光等，这都表明它是优于传统有限元的。然而对于任意区域，@hillyuan君认为由于高斯积分的效率和边界处理其实是样条元的缺陷。但是这些缺陷并不是不可以克服的。出路就是结合间断伽辽金原理，我们知道在间断伽辽金领域，人们发现高精度（高次）单元很有用处，甚至有人实现了100次的单元，这在连续伽辽金理论是不可理喻的。不禁想到，对于数据插值和拟合而已，样条要远远比分段多项式用的多？本质可理解为满足某种物理约束数据插值的有限元，为什么不能应用更多的样条呢？PS。最后，高斯积分对于样条元效率很低，这一点已经被发现了，但是样条函数的高阶性可以让我们设计更有效率的积分格式，这方面已经有文章讨论了。