关于标架与坐标系的理解

yymaverick

一点与一组基就构成了标架{O;e1,..,en}。在标架的基础上，向量可以和有序数组一一对应，这种点(集合元素)与有序数组的对应关系就称为是坐标系，有序数组称为点的坐标。但是同一标架下的坐标系，即点与有序数组的对应关系并不是唯一选择的，也就是说标架并不唯一确定坐标系。比如给定标架下可以选择直线坐标系，也可以选择曲线坐标系。最简单的例子，仿射平面上选定一斜角标架(姑且这么称呼)，也就是一点(P)和过这点不共线的两条直线。那么平面任一点Q，按矢径PQ平面四边形法则，可与一数组一一对应，这就构成一个坐标系。另外也可以将向量PQ分别向两直线做垂线(投影)，两个垂线的长度值也可以与Q点一一对应，这构成坐标系。在这个意义下，标架实际上只是提供了相对位置与方向的参考。

不知道关于标架与坐标系的理解是否正确。

baibing

怎么你思考过的问题，我都思考过呢？
有些课程学了之后，会逼着自己去追问最最基本看似无需定义的概念的。

yymaverick

其实一门学科最基本的概念才是这门学科的根基所在，真正理解了这些基本概念(并不只是背熟概念)，才能对学科有真正深度的理解，而不是淹没在技巧里。

yymaverick

在我们的教育体制下，一般多强调怎么做，而较少强调为什么，很多时候连问题是什么都交待得不清楚。这可能也是缺乏原始创新的原因之一。希望能与大家多多交流。

baibing

我对“请教，为何引入仿射空间？向量空间不够用？”这个帖子的回复，
包含了 我对 坐标系的一部分认识。
学习连续介质力学 到最后，要弄清：
坐标系，参照系，观察者，标架，
这些  最基本概念到底有什么差别，
以及为什么要引入坐标系 等 这些概念。
既要懂数学，也要等懂物理。

“仿射空间是 几何。
向量空间是 代数。

仿射空间是以点集为研究对象，这些点集最直观的物理背景是 对应 现实空间的位置点。位置点的定量描述就是和数系对应，这句话的意思就是引入坐标系，而引入坐标系就要规定 原点，正方向、单位长度等（这些无非是引入数系所要求的具体操作），
但是，现实的空间中每一个位置点 无所谓 优劣，位置是均等的，所以，用数系与之对应，究竟让哪个点取对应0，其实具有任意性的。所以，仿射空间中是关于点的 几何学。

而向量空间的物理基础并不是空间位置点，而是建立在点的基础上的二级抽象概念，比如，由点之间的连线 组成的向量。所以，向量空间中必然会出现一个0向量，但是这个0向量无需额外强调和定义，而是向量定义自然而然的结果。无论如何，向量空间中一切都是向量，非要直观几何去理解，那么就是 所有向量都要以零向量作为出发点，还记得我们以前学得，向量 可平移么？如果不是在原点定义的向量，你也要将该向量起点移到原点（零向量点） 去。 所以向量空间本质是关于向量的 代数学。

很多时候 点这个概念都是模糊的，因为在数学里，点不仅仅是实在的位置点的概念，而是集合之元素的概念，即是一个抽象概念。于是，向量空间中的一个向量 有时也称为 点。

但是一定要区分仿射空间中的点、向量空间中的点 其概念是不同的。只有这样才不会迷失在乱七八糟而又没有被汉语教科书好好介绍的 概念。

非数学专业，个人理解，欢迎修正。”

yymaverick

老兄可以专开一贴，从基本概念谈起，好好谈谈学习连续介质力学的心得，让版主帮忙管理下，少些无用的回复，也让我们这些后学少走点弯路。

baibing

哈哈 ，水平不够，
精力不够，况且，不是有了个连续介质力学转帖了么？