[原创]有限元类型的选择

MaXPowerPLANe

抛砖引玉，希望能给搞工程应用的同僚们找个话题。:^)
低阶的高阶的三角形或四边形或更多的单元，都可用来求解含有直至（包括）二阶导数泛函的连续介质问题。面对这一事实，我们可能会问：到底应采用哪一种单元，能达到精度高、计算费用少的目的？遗憾的是，不可能给出一般性的答复，因为不同的问题有不同的回答。
1）C0问题和C1问题：只要求单元位移场在单元界面处连续的问题称为C0问题；位移场及其法向导数沿单元边界连续的问题，成为C1问题。
2）C0问题：
即使只考虑三角形和矩形单元族，能满足C0连续性要求的单元数目是无限的，其所以是无限的，因为可以把节点和自由度不断的加到单元上（增加边中节点和面内节点），以构成不断增加的高次单元。
一般说来，这种高次增加了单元的复杂性，但是在给定的问题中，为达到同样精度，需要的单元数目和自由度的总数会比采用较简单单元所要求的要少。
但对于C0问题，很少使用大于三次多项式的单元，因为这样迅速增加矩阵带宽，而于精度提高贡献不多。
另外，若要模拟一个复杂边界，使用大量的简单单元比用少数几个复杂单元更为有利。
3）C1问题：
四节点矩形单元是二维C1连续的最简单的单元形状，相应的，满足C1连续的三角形单元复杂的多。
4）可以用几个三角形来构造一个矩形单元，费利帕和克劳夫[C.A.Felippa and R.W.Clough,"The Finite Element Method in Solid Mechanics", Numerical Solution of Field Problems in Continuum Physics,SIAM-AMS Proceedings, Vol.2, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1970,pp.210-252.]在这方面提出了有益的意见，认为这种构造实质上具有差别。经验证明，这种方法比起矩形单元，精度不佳。换句话说，矩形单元的精度优于三角形元。同样，三维问题中，六面体单元优于四面体单元。
矩形单元之所以引人注意，是由于其插值函数（位移模式）容易求得的缘故（由检验求得）。
5）矩形单元按位移场模式分两种：拉格朗日单元和“奇妙族单元”。前者含面内节点，后者只含有外节点（角上节点花边中节点）。
拉格朗日单元由于含有大量节点，需进行额外的运算（内节点的凝聚）而限制其使用范围。
而“奇妙族单元”也同样在使用上受到限制，因为它不适于很好的表示曲线边界。但是矩形单元和三角形单元的集合体（靠近边界用三角形单元）却是非常有效的。
6）三棱柱。三棱柱的插值函数，可以以三角形截面的插值函数和长度方向上的拉格朗日函数或“奇妙族”函数的乘积的形式很容易的得到。
用六面体单元模拟形状复杂的三维区域边界会出现困难，与其采用大量的小六面体，不如混合采用六面体和三棱柱，以得到良好的吻合，以及单元间的协调。
8）C1连续性不总是收敛性的必要条件，收敛性往往更取决于单元位移场的完备性。有些研究者用不完备而协调的单元得不到收敛性。
7）非协调元与广义协调元。
在节点处保证有斜率的连续性，但在单元边界违反斜率连续性的称非协调元。在平板弯曲问题中，非协调元常取得成功。非协调元是对等参元的一种改善，以补充等参元位移模式中所缺的项，增加完备性来提高精度和收敛速度。但是使用范围很有限。
协调元：要求位移函数应事先精确满足单元间的几何协调条件，这个要求过于苛刻，虽然保证了单元的收敛性，但只是位移场函数难以确定，在自由度一定的条件下单元刚度过硬。
广义协调元：以多变量的退化性（即现性）势能原理作为变分基础，以修正的势能原理或分区势能原理为理论出发点（修正势能=单元势能+单元周边不协调位移引起的附加能量），不要求边界几何协调精确满足，只要求广义协调。优点是兼顾收敛性和简便性。

handong1994

有限元是数值方法，不管对于C0、C1还是其它的问题，实际上是建立描述问题的方程对连续性提出的要求，而有限元单元的选择即要满足上述要要求。如需满足C1连续，那么两点给出的插值是条直线，无一阶导数连续行，而3点则可以，当然越高越精确，也就是相当于越多插枝点拟合的曲线越逼近原曲线。但是有些问题比如非现象问题，采用再精确的插值也无济于事，例如，用线性梁计算大变形梁位移，因为在求解问题时，已经认为为小位移。因此在具体时需注意，到底此法是否能求解此问题，在寻找较为有效的单元。个人愚见，请多多指教。

MaXPowerPLANe

handong1994 wrote:
有限元是数值方法，不管对于C0、C1还是其它的问题，实际上是建立描述问题的方程对连续性提出的要求，而有限元单元的选择即要满足上述要要求。...
同意handong1994的观点，就是说，对于一类确定的问题，要看它的力学性质、物理性质、数学性质以及期望目标来选择单元类型，线性的与非线性的、大位移的与小位移的、连续的与穿透的、薄板的与薄膜的、复杂边界的与简单边界的、弯曲的与拉伸的，甚至是如何建模的（导入CAD模型、还是只有型线图，直接根据型线图在FEA环境中建模），各种情况组合下来，对于单元的选取才有较大的确定性。
我的一个朋友，做军舰分析，他采用的基本是 Q4 + Beam，一方面，对于他的直接根据型线图建模而言，Q4 + Beam是最容易实现的，一方面，由于采用板壳和梁单元，能很好的拟合弯曲变形，精度很令人满意。他建的模型看上去很舒服，单元不多，但很精致。

MaXPowerPLANe

感觉我们这里simwe forum理论研究人气不是很旺啊，有没有哪位老大烧把火嘞！

molen

MaXPowerPLANe wrote:
感觉我们这里simwe forum理论研究人气不是很旺啊，有没有哪位老大烧把火嘞！

眾人拾柴火焰高啊!
和最大功率平面朋友握手﹐﹐﹐﹐  

MaXPowerPLANe

久仰久仰！久闻molen大侠威名！8D

配合斑竹热情回应，举个三角形和四边形单元综合使用的例子吧。
下图是我划的一个轴承的有限元网格，完全由四面体单元组成。

MaXPowerPLANe

我的一个在ABS（美国船级社）的同学给我提了很有启发的建议：在轴承孔的周围是应力敏感区域，最好能用一系列同心圆剖分成整齐的四面体网格，然后在剩余的区域再划分网格，难以协调的部分用少量三角形单元作为过渡。这样画下来的精度会高很多，否则的话（按照我原来的分法）可能要适当提高安全系数。下图为他划分的网格示意图：

MaXPowerPLANe

另外，由于轴承的力学特征表现为平面应力/平面应变问题（具体看厚度大小），三角形单元的使用本身误差也很小。在此类问题中，更重要的是各个单元的质量（翘曲、长宽比、雅柯比、内角大小等，其中长宽比绝不能超过1/7，最小的内角绝不能超过30度），以及网格密度（因为使用低精度单元）。

pasuka

但对于C0问题，很少使用大于三次多项式的单元，因为这样迅速增加矩阵带宽，而于精度提高贡献不多。
另外，若要模拟一个复杂边界，使用大量的简单单元比用少数几个复杂单元更为有利。

补充一些，
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这个问题从本质上来说，是h方法和p方法的不同观点，对于简单的形状，高阶（通常阶次大于3）的拉格郎日单元可能几个单元就可以得到相当精度的结果。当然K J Bathe同志对于此有异议，他和IBM的一个研究小组曾经就在某此会议上用h方法还是p方法计算一个差不多相同的问题，得出南辕北辙的结论。
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讨论广义协调元的时候请不要忘了双参数元，二者差不多是等价的，而双参数元是从数学角度出发的，殊途同归吧。二者的超参的想法，却多少类似于子空间迭代法和Lanczos法计算特征值的时候，虽然只求n个，实际却计算n+m个特征值，以求得更好的逼近

hylovegj

感谢楼上的各位同仁发了这么具有启发性的帖子，受教了！

zhaotianzhang66

很崇拜上面的几位
我也想往深的做，那得建立在大量的实践基础上。我在慢慢积累，愿以后能与诸位交流

cansos

不错，受教了。。

zengyu113

不错，收藏了