坐标转换方程

smarten

常常我们要进行一些坐标转换，有时比较复杂，这里用Mathematica简化这个过程。
基本的关系（见图）：
Mathematica实现：

1. cotransform[u_Symbol, var_List, relation_List] :=
   
2.   Module[{h, hi, delu}, h = D[relation, {var}];
   
3.    hi = Simplify[
   
4.      Sqrt[h[[All, #]].h[[All, #]]] & /@ Range[Length[var]],
   
5.      Assumptions -> {0 < var[[#]] < \[Pi] & /@ Range[Length[var]]}];
   
6.    delu = 1/hi[[#]] D[u @@ var, var[[#]]] & /@ Range[Length[var]] //
   
7.      Simplify;
   
8.    Print["Gradient is ", delu // Total];
   
9.    lapu = 1/Times @@ hi D[Times @@ hi/hi[[#]] delu[[#]], var[[#]]] & /@
   
10.         Range[Length[var]] // Total // Simplify;
    
11.    Print["Laplacian is ", lapu]; Return[{delu, lapu}];];

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例子：

1. cotransform[f, {x, y, z}, {x, y, z}]

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结果：

1. Gradient is f^(0,0,1)[x,y,z]+f^(0,1,0)[x,y,z]+f^(1,0,0)[x,y,z]
   
2. Laplacian is f^(0,0,2)[x,y,z]+f^(0,2,0)[x,y,z]+f^(2,0,0)[x,y,z]

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柱坐标例子：

1. cotransform[f, {r, \[Theta], z}, {r Cos[\[Theta]], r Sin[\[Theta]],
   
2.   z}]

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结果：

1. Gradient is \
   
2. f^(0,0,1)[r,\[Theta],z]+f^(0,1,0)[r,\[Theta],z]/r+f^(1,0,0)[r,\[Theta]\
   
3. ,z]
   
4. Laplacian is \
   
5. f^(0,0,2)[r,\[Theta],z]+f^(0,2,0)[r,\[Theta],z]/r^2+f^(1,0,0)[r,\
   
6. \[Theta],z]/r+f^(2,0,0)[r,\[Theta],z]

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球坐标例子：

1. cotransform[f, {r, \[Theta], \[Phi]}, {r Sin[\[Theta]] Cos[\[Phi]],
   
2.   r Sin[\[Phi]] Sin[\[Theta]], r Cos[\[Theta]]}]

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结果：

1. Gradient is (Csc[\[Theta]] \
   
2. f^(0,0,1)[r,\[Theta],\[Phi]])/r+f^(0,1,0)[r,\[Theta],\[Phi]]/r+f^(1,0,\
   
3. 0)[r,\[Theta],\[Phi]]
   
4. Laplacian is 1/r^2(Csc[\[Theta]]^2 f^(0,0,2)[r,\[Theta],\[Phi]]+Cot[\
   
5. \[Theta]] f^(0,1,0)[r,\[Theta],\[Phi]]+f^(0,2,0)[r,\[Theta],\[Phi]]+2 \
   
6. r f^(1,0,0)[r,\[Theta],\[Phi]]+r^2 f^(2,0,0)[r,\[Theta],\[Phi]])

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验证和推导的网页：
http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian
以及：
http://planetmath.org/encyclopedia/%3Chttp://planetmath.org/?method=l2h&;from=collab&id=76&op=getobj

自己代换，自己玩玩。

[ 本帖最后由 smarten 于 2008-7-4 12:13 编辑 ]

FreddyMusic

Not bad, Make a dynamic demo.

Maybe add three axis and a random point coodinate ?

maxb701228

在mathematica6中有相关的命令啊，可以调用数据包vectoranalysis。