几大著作关于transformation matrix 是否为tensor的争议

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-27 14:40
在回复你下面的，
“（1）  坐标系的转动【空间张量坐标转换的需要】，任何转动（纯转动）都可以用张量表 ...

刚才搜索了一遍Lai的大著，似乎整本书都没有提及两点张量。Reddy的大著中，第一版也没有此概念，但在第二版中有一个很好的解释（3.8.1.2节）。可以看出作者的认识也是有个过程的。

俗话说尽信书不如无书，关键是你自己如何理解。
我认为你附件中Lai只是证明了R是线性算子，并没有证明它是张量。虽然他是这么说的，你得掂量掂量是不是这样。

ggbbggb

谢谢再次指导。Lai的这个R肯定是他指的tensor，白纸黑字。我对2点张量不是特别理解，所以我想TBE-Legend 很肯定Rotation 可以用2点张量描述的话有他自己的理由，我不大好评论。但是就我知道的 定义 线性算子 R：E->E， 或按坐标分量转换定义，就我局限的理解 他的这个 R 是张量没问题 （否则不应该出现rotation tensor 字样）。Holz-， Bonet 这2本中直接说Q是张量，而Lai至少有些更详细的说明。

这三本 中都用的这个模式，不如Malvern 更一般的描述（见前面的讨论和我给的例子，他的那个转换矩阵明确说不是张量，所以Malvern也是有道理的）。

就像我在前面跟老师讨论的另一个帖子，Tensor worth fussing over 一样，大家对tensor的定义，理解都会有些偏差的地方，我发现有时T和[T]和Tij有分别都叫tensor的，所以要看上下文，才可以明白作者的consistent meaning。有时我自己也会有不consistent的地方。尽管对问题本身我觉得已经有了答案（也是通过和TBE-Legend 和老师两位讨论才得出的），但是还是看到和大家有不同理解的地方。我愿意接受进一步的指正批评和不同意见。不管怎样，再次感谢两位有耐性的悉心聆听！

ggbbggb

ggbbggb 发表于 2014-11-27 16:50
谢谢再次指导。Lai的这个R肯定是他指的tensor，白纸黑字。我对2点张量不是特别理解，所以我想TBE-Legend 很 ...

不要（像Gurtin 黑 Chadwick 一样）黑 Malvern，呵呵， 他对two-point tensor的解释还是不错的 （但申明我未细读）。

ggbbggb

前面得出了个 “像 two-point tensor 那个形式的东西”，但叫什么我未那么确定
即 Q=（e‘_k 并矢 e_k ），这个东西跟Q=Qij （e_i 并矢e_j ）是完全等价的，因为 Qij e_i=e’_j exactly，所以Q=Qij e_i 并矢e_j =e‘_k 并矢 e_k

ggbbggb

再关于two-point tensor，再详细看了下Holzapfel （p71），书中定义似乎用了一点点differential geometry 的语言 （我真的一点都没碰过，希望这些观点可以得到hillyuan老师核实）。像Hillyuan老师一样，这书提到了points in two distinct configurations，这个F 把material tangent vector dX map 到spatial tangent vector， tangent vector 是differential geometry 中的用词（老师前面的帖子有提到），也见附件，v_p （这个point of application p是tangent vector的要素），在这个two-point tensor 中的2点正是这2个point of application。如果没有连续力学中的这两个configurations，也就没有2个这样的point of application，当我们某个量只refer to one configuration 时，就是one-point tensor （？也意味着通常的tensor）。Two point tensor 只在连续力学中见过运用，在别处我没见过。

上面是胡猜的，但好像跟Holzapfel （p71）有些吻合。

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-27 19:50
再关于two-point tensor，再详细看了下Holzapfel （p71），书中定义似乎用了一点点differential geometry  ...

Great!. That's it!

tonnyw

问题来源，今天刚读到Holzapfel的1.5节（p28），看到 (1.182) e’_i=Qe_i 这里Q被叫做orthogonal tensor，所以 Q_ij=e_i dot Q dot e_j= e’_i dot Q dot e’_j=Q’_ij （两者都= e_i dot e’_j）（结论也见p28最下面的那段话）。同样把这样的transformation Q叫做tensor的还有Lai 和Bonet。这样的结论明显跟用坐标变换定义张量矛盾，因为根据坐标变换，Q’_ij (为了方便记为Q_i’j ‘)= C_i’i C_j’i Q_ij ,也就是说根据坐标变换定义，Q肯定不是张量了。即使不考虑这个坐标变换定义，争议照样存在（you can forget about all related to coordinate transformation rule mentioned here，因为在这里提的大部分著作都是用线性变换来定义张量的）。
>>还没看所有回帖，Q分量是不是应该写成Q_ij = e_i dot Q e_j 同样的Q'_ij = e'_i dot Q e'_j?

对于两组基矢量{e_i} 和{e'_i}之间变换矩阵C_ij' ，我们有
e'_j = C_ij e_i     (C_ij = e_i dot e'_j)
对于正交张量Q，我们有
e'_j = Q e_j = Q_ij e_i     (Q_ij = e_i dot Q e_j = e_i dot e'_j)
可以看出这里张量Q的分量Q_ij 和变换矩阵的分量C_ij 是一样的.

因此，我们有
Q‘_ij = C_ik C_jl Q_kl = Q_ik Q_jl  Q_kl = Q_ik delta_jk = Q_ij

我看不出矛盾在什么地方。

ggbbggb

tonnyw 发表于 2014-11-28 09:36
问题来源，今天刚读到Holzapfel的1.5节（p28），看到 (1.182) e’_i=Qe_i 这里Q被叫做orthogonal tensor， ...

Q_ij=Q‘_ij=e_i dot e'_j 见我1楼原帖，跟你的一样。


Q'_ij =Q_ij 这是对的，只是我最初以为这不符合张量分量转换式子，因为有2个系数没出现，但是事实上由于Q的正交特殊性，我们可以推出Qij符合坐标转换定义，也即Q'_ij =Q_ij和那个张量分量坐标转换定义并不矛盾。你的推导是对的, 也见我13楼的回复和更正

tonnyw

Okay, I saw it. Thanks.