【求助】关于最小二乘的拟合

molidong

%跟你举个例子  
%X有8个采集点,对应x1,x2,x3,...y8(你可以可用矩阵来表示）
%Y有8个X的对应点（即Y=f(X)):y1,y2,y3,...y8
%所求得Y=f(X)=a0+a1*x+a2*x^2
%最后结果为y=12.9518-6.5688*x+0.9373*x^2
%还绘出了原始点的图形和拟合后的：y=12.9518-6.5688*x+0.9373*x^2的图形
%这里只作了到x^2,更高阶的继续写A矩阵..:  1, x1, x1^2,x1^3...x1^n... ;
%但是采用这种方法拟合多项式方次高时，会导致很大误差，
%你可以采用正交多项式拟合，我还没有加以研究过，对不起。。
syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
syms y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
x1=0.5;  y1=10;
x2=1.5;  y2=5;
x3=2;  y3=4;
x4=2.5;  y4=2;
x5=3.5;  y5=1;
x6=4;  y6=2;
x7=5;  y7=4;
x8=6;  y8=7;
XX=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8]
YY=[y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8]
A=[ 1, x1, x1^2;
    1, x2, x2^2;
    1, x3, x3^2;
    1, x4, x4^2;
    1, x5, x5^2;
    1, x6, x6^2;
    1, x7, x7^2;
    1, x8, x8^2
]
Y=[y1;
   y2;
   y3;
   y4;
   y5;
   y6;
   y7;
   y8
]
AT=A.'
W=AT*A
R=AT*Y
T=W^(-1)
a=T*R
x=0:0.1:6;
plot(XX,YY,'r+')
hold on
plot(x,a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2)

大海龟

matlab有曲线拟合函数： polyfit
如：
x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];
y=[.44 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];
n=2;%多项式阶次
p=polyfit(x,y,n)
  
p= -9.8108 20.1293 -0.0317
  
p即为系数a0、a1.....

molidong

大海龟：请原谅使用你的铁子回答别人的问题。。
matlab有曲线拟合函数： polyfit  
如：  
x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];  
y=[.44 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];  
n=2;%多项式阶次 (你把这里改成 n=5；就可以喽！）
p=polyfit(x,y,n)  
  
p= -9.8108 20.1293 -0.0317  
  
p即为系数a0、a1.....  
  
molidong: 我的程序也告诉你了怎样改成5次方，你认真看一下。。
也就是改动A=为
A=[ 1, x1, x1^2，x1^3，x1^4，x1^5;  
    1, x2, x2^2，x2^3，x2^4，x2^5;  
    1, x3, x3^2，x3^3，x3^4，x3^5;  
    1, x4, x4^2，x4^3，x4^4，x4^5;  
    1, x5, x5^2，x5^3，x5^4，x5^5;  
    1, x6, x6^2，x6^3，x6^4，x6^5;  
    1, x7, x7^2，x7^3，x7^4，x7^5;  
    1, x8, x8^2，x8^3，x8^4，x8^5  
]  
就可以了，但是会出现的问题我给你也说过了。。。

molidong

对不起，我再试试，其实我并没有试，只是我猜想的，另外，我给你的程序只适合阶数少的情况（二阶），阶数多了拟合的就不好了，误差很大。。

molidong

%跟你举个例子  
%X有8个采集点,对应x1,x2,x3,...y8(你可以可用矩阵来表示）
%Y有8个X的对应点（即Y=f(X)):y1,y2,y3,...y8
%所求得Y=f(X)=a0+a1*x+a2*x^2
%最后结果为y=12.9518-6.5688*x+0.9373*x^2
%还绘出了原始点的图形和拟合后的：y=12.9518-6.5688*x+0.9373*x^2的图形
%这里只作了到x^2,更高阶的继续写A矩阵..:  1, x1, x1^2,x1^3...x1^n... ;
%但是采用这种方法拟合多项式方次高时，会导致很大误差，
%你可以采用正交多项式拟合，我还没有加以研究过，对不起。。
clear all
syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
syms y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
clc  
clf
x1=0.5;  y1=10;
x2=1.5;  y2=5;
x3=2;  y3=4;
x4=2.5;  y4=2;
x5=3.5;  y5=1;
x6=4;  y6=2;
x7=5;  y7=4;
x8=6;  y8=7;
XX=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8];
YY=[y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8];
A=[
    1, x1, x1^2, x1^3, x1^4, x1^5;
    1, x2, x2^2, x2^3, x2^4, x2^5;
    1, x3, x3^2, x3^3, x3^4, x3^5;
    1, x4, x4^2, x4^3, x4^4, x4^5;
    1, x5, x5^2, x5^3, x5^4, x5^5;
    1, x6, x6^2, x6^3, x6^4, x6^5;
    1, x7, x7^2, x7^3, x7^4, x7^5;
    1, x8, x8^2, x8^3, x8^4, x8^5
];
Y=[y1;
   y2;
   y3;
   y4;
   y5;
   y6;
   y7;
   y8
];
AT=A.';
W=AT*A;
R=AT*Y;
T=inv(W);
a=T*R
x=0:0.1:6;
plot(XX,YY,'r+');
hold on;
plot(x,a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3+a(5)*x.^4+a(6)*x.^5,'y');
%好像拟合的很不错。。。你试试
hold on;
  
% %大海龟的程序你应该成这样。。。
x=[0.5,1.5,2,2.5,3.5,4,5,6];
y=[10,5,4,2,1,2,4,7];
n=5;%（五次方）
a=polyfit(x,y,n)
plot(x,y,'y+')
hold on
xx=0:0.1:6;  
plot(xx,a(6)+a(5)*xx+a(4)*xx.^2+a(3)*xx.^3+a(2)*xx.^4+a(1)*xx.^5,'r')
% %拟合的也很不错，如果阶数更多的话（10次），比我的要好。。
% %注意，跟我的系数方向上是相反的。。。
%这是大海龟的系数a（行阵） -0.0077    0.0909   -0.3309    1.3270   -6.6915   13.0273
%这是我的系数a，完全一样（列阵）
   %13.0273
   %-6.6915
    %1.3270
   %-0.3309
   % 0.0909
   %-0.0077
%再有问题再问。。。

mysyy

原理很简单
        原理1、利用各点到拟和线的平方和最小，也即可以求导数的方法来解
  
       原理2、最小二乘法的解实际是向量空间中的最接近的解，是最优化的解
  
在MATLAB中可以这样，
   FOREXAMPLE ：  
      解  A B=E    A为3行2列系数阵，B为3行向量，E为3行向量，B为待计算的二乘法解
   
   FIRST 计算系数矩阵A，
   NEXT  计算A的转置阵D，
   THEN  C=AXD
   THEN  计算B=E/C
   一切OK！

mysyy

在EXCEL中也可以曲线拟和哦

xinlei

Theory on least square fitting:
  
The following link from the mathworld, company who developing Mathematica, a competitor of matlab:)
  
You are going to find out how to use polynomial fitting up to any orders.
This is written in English, give yourself a chance to go over English.
  
http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html

lpknjtu

若采用常规LS精度欠佳，可以试试用神经网络拟合，也不太复杂的。

talorwang

其实用origin专业拟和，里面就有最小二乘这一项

simontintin

对于简单的拟和，可以使用CFTOOL，里面提供了一些常见函数作为拟和函数
，也可以用自己定义的函数（比如一些基本函数的组合）来拟和，看一个例子的DEMO就可以学会了。
  对于复杂一些的拟和，就要考虑优化的问题，如何选取优化函数和选择目标函数是关键，目标函数里你可以自己写不同的算法（比如最小二乘法），看一个例子就能弄明白了，这是我以前做拟和的一点经验。

taohe

这么老的帖子都让你给翻出来了，算你恨！:D
  
不过还是谢谢分享经验！:I

lily-sx

原理：用最小二乘法求解超静定线性方程组的算法