关于剪应力互等定理 【已解决，见61楼】

wucw

原来互相垂直的两个面
在一个面上施加剪应力
另一个面自由
那么这两个面还会互相垂直吗？
一般是不再垂直了吧
那还谈什么剪应力互等呢？
剪应力互等是从单元体平衡推出来的一个关系而已

hillyuan

在二维连续体中取一极小菱形单元，临近两个面上的剪切应力t1=t2?

yycgy

yp51920 :
这个是张淳源教授在给我们讲材料力学课时提醒注意的两个小问题之一，当时他玩笑说以前给中科院的讲课也提过。
可能你已经忘了吧？

yp51920
你是哪个学校的？

JIFEX

看完wucw的发言我才明白这个问题的症结在哪里。
其实前面jiangquan的说法就给了我一些启示，这种加载方式是不存在的。a边的上端和下端的剪应力的确应该为0，这样才能满足剪应力互等定理。既ab边在交线的地方剪应力相等，都是0。
但是，为什么huimonk说这种加载方式是存在的呢？确实，如果硬要这么加，这块板子也没有办法，我们是一定可以做到的。那么此时a边上端和下端的两个微小单元是不是还满足剪应力互等定理呢？a边上明明有剪应力，但是b边上却又明明没有，这岂不是很奇怪？
关键就在于wucw的回复，这上下两个微元在这个剪应力的作用下一定会发生变形，产生翘曲，使得b边不再是与a边垂直的边，而真正与a边垂直的边上，剪应力还是与a上的剪应力互等的，而b边则可以堂而皇之的不用与a互等了。

============
坦白的说，我也不知道自己说的对不对，大家讨论吧~~

lxuejin

呵呵
这种问题还这么乐闹

用FEM计算一下，不就可以看到应力场了吗？剪钱载荷怎么加都可以，在角上可以加也可以不加

怎么没有这种动手的习惯？

vickylee306

yp51920 wrote:
如下面的图：
1.自由边的应力状态必定为0，它不可能与A边存在剪应力互等的关系
2.由受力状态我们容易感性的得出单元其它三边的应力状态，如图。显然单元左右两边分别与底边必定满足剪应力互等定理。而且图示单元这种状态是可以使单元平衡的，这是作单元应力定性估计是首先满足的一点。

可是yp51920给出的应力图对于右上角那一点的力矩无法平衡，怎么解释？

mooncold

我的理解，
剪应力互等定理说明的是应力张量的对称性，体力或者惯性力的存在没有改变这个；但是如果存在体力矩的话，就不成立了。

hillyuan

mooncold wrote:
我的理解，
剪应力互等定理说明的是应力张量的对称性，体力或者惯性力的存在没有改变这个；但是如果存在体力矩的话，就不成立了。

这么多贴中唯一一个说到点子上的。也就是说，如果连续体上一点没有外力矩而又不满足剪应力互等的话，该点将会永远加速旋转，其后果将会是很壮观的。

To：mooncold
在经典连续体的假设中连续体上一点不可能受体力矩（其尺寸为零）。而在Cosserat理论中，由于在连续体上一点导入了旋转自由度，连续体上一点才可能受到力矩作用。

mooncold

hillyuan 说的太客气了。我刚开始看弹性理论。在朗道的 那本 弹性理论上面对这个问题有一些说明。
说实在的，我也不知道什么时候考虑体力矩。如果介质带电，而且在一个非均匀的电磁场中的话，我想可能就需要考虑体力矩了。

hillyuan

mooncold wrote:
hillyuan 说的太客气了。我刚开始看弹性理论。在朗道的 那本 弹性理论上面对这个问题有一些说明。
说实在的，我也不知道什么时候考虑体力矩。如果介质带电，而且在一个非均匀的电磁场中的话，我想可能就需要考虑体力矩了。

不错。Eringen在在相关方面有研究，并出有专著.

jeffjuju

ft。剪应力这个概念就仅仅是一个“点”的受力状态下有所定义的，并不是整个结构，只是一个点。

counton

同意jeffjuju的说法。这是一个结构外载荷与结构内部抵抗外载所产生的应力之间的关系。结构内应力分布为一个函数，只不过该函数在自由边界上满足值为0。这也是材料力学与弹性力学的差异。变形前后体内任意六面体微元都满足剪力互等原理。

陌上郎

看了以上的贴子原来还比较明白的知识，也给搞糊涂了，
我认为问题的关键恰恰是提问题的人搞错了，此例中自由边根本不是图示的b面，取一微单元体分析，自由边是指向屏幕及背向屏幕的边。

cad403

我认为剪应力互等定律适用于每一个微元，而并非向楼上所说的与自由边沾不上边，自由边上的剪应力为0，紧贴自由边的微元中与自由边垂直的面上的剪应力同样为0，如同前面一位所说，剪应力在此构件中的分布呈抛物线状，与自由边紧贴的的微元刚好可认为为0，希望各位能够明白用微元体分析时，微元的具体含义

zkong

看到大家的讨论挺有收获的，我也谈谈几点看法：

1. 区别 "理想化微元" 与 "小尺寸的实际结构"
   理想化的微元应该是用来分析结构中应力场某"一点"处的应力状态Sxx,Syy,Szz, Txy, Tyz, Tzx，不应该考虑力矩的作用。 这有点像对f(x)做积分的时候，在对积分区域无限细分之后，我们认为dx处的面积形状是矩形，而不是梯形。
楼上有人提到，右上角取出一小块材料，左侧有力矩作用，这是正确的，因为左侧正应力沿y轴有变化，对左侧形心可简化为力和力矩。 但是我们必须区分微元 与 小尺寸实际结构的区别。 前者是一个极限化的数学概念，而后者是有实际尺寸的结构。

2.  关于b面上的剪应力。
    b面作为自由表面，剪应力为零是毫无疑问的，a面上的均布剪应力分布不可能出现在平衡状态！！！
   如楼上有人提到的，在平衡状态下，b面上剪应力应该是抛物线分布，上下角的剪应力为零，剪应力互等是没有问题的。
   需要指出的是，这里与变形后是否保持直角并没有什么关系，这里我们所有的计算都是基于小变形的假设，我们认为变形后仍然是直角。

3.  b面绝对是自由面。 更准确的说，在弹性力学里，b,a提供应力边界条件(b面上正应力和剪应力为零)，左端约束端提供位移边界条件，至于垂直于屏幕的面，当然也是自由面，但是在平面问题里，我们通常不需要考虑它们相应的边界条件，只需要知道是平面应力还是平面应变问题就行了。

4. 楼上有人提到做个有限元模型用软件计算一下。 当然，实践是非常重要，但是，我们经常需要根据力学知识阅读或者解释有限元计算的结果，有时候还需要根据力学知识检查建模中的错误，比如不合理的边界条件。 所以必要的理论分析还是非常重要的。

一点拙见，欢迎讨论指正。

[ 本帖最后由 zkong 于 2006-5-3 06:47 编辑 ]