结合COMSOL,浅谈多场耦合

ma

有人说“有限元的未来在于多场耦合”，因为多场耦合能最大程度地体现分析对象的真实工况，在真实环境下，研究对象往往同时受多个场的作用，越是逼近真实的也就越是合理和可靠的。因此多场耦合确实体现了有限元的发展方向。多场耦合的计算其实是一个很复杂的过程。体现多场耦合也有很多途径和方法，大体来说可分为多场直接耦合和多个场顺序耦合！这两种方法都是体现多场耦合，但采用的是完全不同的办法。一般情况下，这两种耦合都采用有限元方法来计算。一些商业软件中也提供多场耦合计算，但采用的方法也是各不相同的 ，比如ansys和comsol都可以考虑多场影响，但方法和途径也各不相同，比如ansys有限元多场耦合是基于变分法的，而COMSOL的多场耦合是基于加权残值法的。ansys的多场耦合又可分为直接耦合 和顺序耦合两大部分，而comsol的多场耦合似乎都是顺序耦合，因为comsol的各个模块的单元都是独立的，在计算各个场变量的时候是由顺序的，而直接耦合，由于每个单元同时包括各个场的自由度，所以它的即时和同时的，一次计算的各场变量是没有顺序的，这也是直接耦合和顺序耦合的区别，未完，待续。

ma

我认为，其实 无论我们所说的直接耦合，顺序耦合，或者弱耦合，强耦合，都是解得偏微分方程组，当然不是解一个方程，说一个方程，也是说用张量形式表达的方程，本质上还是方程组。
如果通过数学推导，能够在在一个偏微分方程（张量）里体现多个场，例如5楼的公式，各场之间的都存在耦合系数，场场之间的影响一览无余，这种耦合是没有问题的。当然你说的“不能任意、随时地和其他单元耦合”也是有道理的，因为并不是随便找出几个场，都能推导出合理严密的耦合偏微分方程，如果推导不出那样的形式，那就说明强耦合或者说直接耦合不容易实现，这种情况下才有必要进行你说的弱耦合，从理论上或者学术上说，强耦合才更有价值，因为这是体现多场耦合的完美，严密的形式，需要指出的是，以上并不是要否定弱耦合！只是探讨和交流。因为好多comsol的原理方面的东西我也没有深入了解，只是猜测它的内在耦合过程！

ma

而这些包含多个场的偏微分方程，comsol似乎是无法解出来的。需要自己开发程序。
刚学comsol没几天，发现一些多场耦合的例子，都是先在各自的单场模块设置方程，然后求解，似乎跟直接耦合是有区别的，也不是直接解体现多场变量的微分方程。
以上只是看了两天comsol帮助文档，总结的东西，肯定有不对之处，望不吝拍砖！
先写道这里吧。

ma

COMSOL的耦合又和ansys中的顺序耦合不同，ansys的顺序耦合是首先单个场计算，在算下一个场的时候，调用上一场的结果，体现场和场的影响。而comsol的多场耦合，虽然也是有顺序性，但它是通过耦合变量来求解各个场的反演方程和各个积分方程，耦合变量会在设定的模型中与各个独立场变量同时求解，comsol的多场耦合在求解一个场的时候,耦合变量会调用下一场去反算,通过引入耦合变量耦合变量来体现双向耦合。从原理上看，直接耦合最接近实际情况，因为采用耦合单元，它的每步计算同时地，无中间条件地体现了多场作用和影响，而像ansys的顺序耦合，不是点点，时时耦合，更像阶段-阶段耦合，只能算是多场耦合的一种方法，结果是否合理可靠是另一回事，我个人认为comsol的多场耦合结果的可靠和合理程度，应该居于直接耦合和顺序耦合之间。未完，待续。

ma

既然直接耦合最为可靠，但为什么直接耦合应用却很有限？这要从商业软件的通用性来解释，虽然直接耦合有严密的数学基础，但场的类型也是千变万化的，直接耦合依赖于其耦合多个场自由度的单元，从理论上说，每一组场的场的组合就要提供对应类型的单元，比如 热-结构 耦合，要提供热-结构单元，热-力-电耦合要提供对应的热-力-电耦合单元，假如有多个场，各个场的组合种类是很庞大的，因此需要的单元类型也是庞大的，对商业软件来说也是需要很大开发成本的，也是不具有通用性的，因为场是多种多样的，假如软件上没有对应的场，即使知道了相应的控制方程，也无法和其他场耦合起来，所以说不通用，也不具有开放性。而comsol采用的耦合方法是有很大通用性和开放性的，貌似有场的控制方程，就能计算场的耦合，似乎是无所不能的。从工程上看，comsol的多场耦合应用范围最广，什么场都可以算都可以考虑，也能为大家所接受，而从学术上看，真正的耦合是直接耦合，要整合多个场的控制方程，使偏微分方程同时体现多个场的作用。

ma

对直接耦合举个例子，例如热压电材料的热-力-电耦合：其经典理论方程包括变形场，温度场和电场，基本变量包括位移，温度和电势。这三个场的控制场方程，梯度方程，本构方程一共由27个方程组成，通过数学推导，可以将这27个方程简化为5个含 位移，电势和温度的偏微分方程，加上边界条件，直接耦合就是求这些偏微分方程。这就是直接耦合的过程。而comsol不是这样的。

ma

原帖由 ma 于 2008-5-8 19:41 发表
对直接耦合举个例子，例如热压电材料的热-力-电耦合：其经典理论方程包括变形场，温度场和电场，基本变量包括位移，温度和电势。这三个场的控制场方程，梯度方程，本构方程一共由27个方程组成，通过数学推导，可以将 ...

例如对上例中的 经过数学推导 整合后的一组多场偏微分方程如图所示

ma

再例如通过 comsol实现的 电磁-结构-热三场耦合的计算流程如下图所示！

ma

再举个biot固结问题的直接耦合的例子
经过数学推导，流固耦合两场作用的两组控制方程，如下图所示。
直接耦合就是求解这两个偏微分方程！

ma

原帖由 ma 于 2008-5-8 20:28 发表
再举个biot固结问题的直接耦合的例子
经过数学推导，流固耦合两场作用的两组控制方程，如下图所示。
直接耦合就是求解这两个偏微分方程！

其中 u  v 为位移变量， uw为空隙水压力！

ma

我看了comsol文档大概两天了，觉得comsol的多场耦合不是直接耦合，
请问对comsol研究比较深入的大侠，5楼和8楼那样的直接耦合偏微分方程， COMSOL可以实现吗？期待大佬指点！

edodo

COMSOL模型库中就有BIOT固结的耦合模型

ma

原帖由 edodo 于 2008-5-8 21:21 发表
COMSOL模型库中就有BIOT固结的耦合模型

这个确实有，但comsol并不是对所有场的组合都有一个耦合模型。固结模型比较常见，所以单独给出了模型。
但对那些非典型的场组合呢？

edodo

COMSOL直接变分原理来求解PDEs 注意 方程组
而ANSYS Abaqus Nastran等老牌有限元软件主要基于分片插值法，就是单元库的模式来求解问题。
本质上只能一个场一个场的求解。
而COMSOL主要针对方程组来求解。一个方程代表一个物理场 几个物理方程联立直接求解，就是多物理场的本质。
在COMSOL里面有很多类似的多场耦合模型。你可以在模型库中找到很多很多这样的案例。
特别是热流耦合的模型最为典型，温度场影响流体密度和黏度，而流场的速度分布影响温度的分布。两者的耦合点就是，NS方程中的 密度和粘性系数包括温度变量T 在温度场模型中，选择对流传导模型，需要输入NS方程求解的U V ,这就是热流耦合的本质，也是多场耦合的本质。

ma

原帖由 edodo 于 2008-5-8 21:41 发表
COMSOL直接变分原理来求解PDEs 注意 方程组
而ANSYS Abaqus Nastran等老牌有限元软件主要基于分片插值法，就是单元库的模式来求解问题。
本质上只能一个场一个场的求解。
而COMSOL主要针对方程组来求解。一个方程 ...

多谢edodo大虾，COMSOL不是基于变分来解方程组的，是基于等效积分弱形式，虽然这两种方法有时候是等效的。另外，ansys，abaqus等也不见得都是一个场一个场求的，虽然有的多场确实是这样，ansys好多单元能同时提供多场自由度，是可以同时求多场的，虽然这种单元并不多！另外你说的comsol中提供的经典的多场耦合模型，就是多个场耦合在一个方程里面的，那确实是直接耦合，我所说的是，并不是comsol中所有场都是这样计算的！只能说是一部分场是这样的！

edodo

Galerkin方法是基于变分原理基础上的一种把微分方程或积分方程转化为等价的变分方程，通过离散变分方程求原方程数值解的方法。
COMSOl的基础就是变分，也就是采用迦辽金加权余量法法。

其他软件有多场耦合单元，那是把几个耦合方程推导为一个方程后，离散为一种单元类型，本质还是单个方程也就是单场。其实不能从本质上解决多场的问题。

“我所说的是，并不是comsol中所有场都是这样计算的！只能说是一部分场是这样的！”
没有明白你的意思，有些问题本身就是弱耦合的，所以没有必要非要做强耦合的直接计算，因为全耦合计算对于形成的总刚来说，正定性要比单场的总刚差。而且带宽也占的大，内存就需要大。
所以有些问题采用弱耦合可以理解。

[ 本帖最后由 edodo 于 2008-5-9 12:40 编辑 ]

ma

" 因为全耦合计算对于形成的总刚来说，正定性要比单场的总刚差。而且带宽也占的大，内存就需要大。"
这句话很赞同！

ma

我所不赞同的是：
1.“其他软件有多场耦合单元，那是把几个耦合方程推导为一个方程后，离散为一种单元类型，本质还是单个方程也就是单场。”
解单个场并不是说是弱耦合，并不是说 不能从本质上解决多场的问题，而恰恰是能从本质上解决多场问题，因为对应方程里同时耦合了多个场。
2.“COMSOl的基础就是变分，也就是采用迦辽金加权余量法法。”
   这句话，你显然是把变分法 和加权余量法混为一谈了，它们是不同的方法，加权余量法的权函数取待求变量的虚位移时，形式上才跟变分法类似，可以说这两种方法在某种情况下等效，但不能把这两种方法看作是同一种方法！

ma

另外需要纠正的一点：
“Galerkin方法是基于变分原理基础上的一种把微分方程或积分方程转化为等价的变分方程”， Galerkin法并不是基于变分原理的，而是基于加权余量法的 ，Galerkin法是加权余量法的一种特定形式，本质上还是加权余量法。
里兹法（Ritz）法才是基于变分原理的。

[ 本帖最后由 ma 于 2008-5-9 14:05 编辑 ]

edodo

"解单个场并不是说是弱耦合，并不是说 不能从本质上解决多场的问题，而恰恰是能从本质上解决多场问题，因为对应方程里同时耦合了多个场。"
个人认为，多场问题的本质是偏微分方程组，而并不是直接解一个耦合方程。所以一个单元类型包含多物理场的问题，解决的多物理场太局限，不能任意、随时地和其他单元耦合，也就是不能和其它方程耦合。

“ 这句话，你显然是把变分法 和加权余量法混为一谈了，它们是不同的方法，加权余量法的权函数取待求变量的虚位移时，形式上才跟变分法类似，可以说这两种方法在某种情况下等效，但不能把这两种方法看作是同一种方法！”
由于不是学数学的，记得上有限元课的时候老师就这么说的。所以一直就这么认为，需要再看看书，但是我看到过有些书里面就是说Galerkin是在变分基础上发展起来的。