讨论从哈密顿原理谈变分原理

aresaran

之前讨论了虚功原理，当然虚功原理是有局限的，更广义高之于虚功原理的是哈密顿原理
哈密顿原理在静态可以推出虚功原理，而虚功原理可以推出最小势能原理，等等
还可以谈Ritz法，Galerkin法，和有限元与变分原理的关系！

请大家畅谈



[ 本帖最后由 aresaran 于 2008-5-16 23:32 编辑 ]

敦诚

我最喜欢哈密顿原理，不是因为别的，就是因为它难，有一次我说想考大工的博士，别人说考大工的力学，太难了，就连哈密顿原理原理你都看不明白。当时我忍了，回去以后找了钟万勰的弹性力学、姚伟岸的辛弹性力学当然还有数理方程一顿猛尅，终于知道了哈密顿体系的大概了。
所谓哈密顿原理只是在分析力学中动力学部分用来求解的一种方法罢了。但是在今天看来其深渊意义指导了我们开创一种崭新的解析求解的方式。
我们现在的力学，包括理论力学、弹性力学都是建立在拉格朗日力学体系下的，就连广义变分原理也是建立在笛卡尔坐标系下的，利用能量泛函根据最小势能原理求解一阶广义变分为0，来得到所有可能解中的真实解。但是由于泛函与微分算子的引入增加了未知量的个数，以及求解的繁琐程度，为求解带来了极大的不便。但是利用哈密顿体系，通过一个了勒郎德变换，可以将笛卡尔空间投射到辛空间（相当于能量空间），这在无形中将一组两个功共轭的变量转化为了一个变量，我们不否认这一做法同样增加了变量的阶数，但是这一做法最为关键的作用在与可以将一些在拉格朗日体系下无法表示的边界条件引入辛空间，极为增强了解析求解的范围。学过数理方程的人都知道，最令人讨厌的微分方程就是边界为无限域或者存在奇点的问题，这时就需要一些特殊函数，当然很多时候还是解不了。但是哈密顿体系对于求解无限域问题可谓独树一帜。另外在哈密顿体系体系下求解本征值问题也比拉格朗日体系下求解更为方便，应为求解变量少，一些犹如分离变量、傅立叶奇数分解等方法都可以使用。有时有机会最好找一本胡海昌的广义变分原理与钟万勰的弹性力学求解新体系一起看，对于力学学习非常有帮助。

zifu_huang

呵呵！第一個支持！

piteqiu

我的认识：有限元方法将模型离散化，Galerkin法、最小势能原理等建立模拟单元的方程，即是形成刚度矩阵的方法。

aresaran

原帖由 piteqiu 于 2008-5-9 18:01 发表
我的认识：有限元方法将模型离散化，Galerkin法、最小势能原理等建立模拟单元的方程，即是形成刚度矩阵的方法。

这是有限元的最基本IDEA，但是不是如上方法的本质

shouxinwj

变分原理和有限元的关系应该分两部分来看吧。
1）自然变分原理。场变量事先必须满足附加规定的条件。比如最小余能原理的场变量（应力）应该事先满足平衡方程和给定的边界条件。当然，相当多的问题做不到这一点。所以就有了广义变分原理。

2）广义变分原理。用适当的方法将场函数以满足事先的条件引入到泛函里。这样，有附加条件的变分就边成了无附加条件的变分了。

vibration72

最小作用原理，我对变分反问题感兴趣。不是所有微分方程都能有变分形式的

xingchao1351

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法
       其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
      在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
      常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

    对于有限元方法，其基本思路和步骤可归纳为
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

[ 本帖最后由 xingchao1351 于 2008-5-10 08:01 编辑 ]

敦诚

上回谈的哈密顿体系有些跑题，今天重新谈谈几类变分原理。
现在通常的理论书籍上共提及的有四种。最小位能原理、第二类变分原理（H-R变分原理）、第三类变分原理（H-W变分原理）、最小余能原理。最小位能原理是利用虚位移原理将几何方程，物理方程、平衡方程引入泛函，然后约束条件以附件条件的形式引入泛函，而后求泛函的一阶变分，这时取得是极值点，当然一阶变分为0，还要判断二阶变分的正负，才能判断是否是极值点。
第二类变分原理中则认为应力与应变不是相互独立，即物理方程没有被打破，但是位移与应力是相互对立的。所以这相当于打破了约束条件，这使得泛函的变分变为取驻值，而不是极值，便可以求得未知量，省去了很多麻烦。
第三类广义变分原理，胡海昌广义变分，认为作为泛函中对立的变量为应力、应变、位移，这表示说几何方程与位移边界条件不事先满足了，而是通过将几何方程以附加条件形式引入泛函。胡海昌认为弹性力学中最直接的力学变量就是位移、应变和应力三类，所以第三类广义变分原理是弹性力学中最一般的变分原理。
最小余能原理的定义是：在满足平衡方程与力的边界条件的所有可能的应力状态中，同时满足位移连续条件和边界条件的应力状态必使总余能为最小。其实最小余能原理就是将虚应力原理带入余能函数中。
这四种变分原理存在着内部的联系，集体可以参考王勖成《有限单元法》清华大学出版社2003年出版，第8章。
个人观点认为变分原理最为关键的部位在于确定那几个变量在弹性力学中是独立的，这是连续介质力学所研究的内容。内变量与自由能的关系的确定就决定了一组泛函方程。
以上的内容参考了王勖成《有限单元法》，胡海昌的《弹性力学的变分原理及其应用》，钟万勰《弹性力学求解新体系》

ma

对分析力学的哈密顿没有深入研究过。谈谈有限元相关的变分和加权残值法。
有部分内容在comsol版发过，在这里既然可以给分（我分太少了）就再啰嗦一遍，希望对大家有所帮助，如无帮助，全当灌水，反正给分！发现此版的版主很有头脑，通过积分鼓励大家的积极性，还真把我给积极了，交流使人进步，支持到底！

有限元法的最主要的一个特点就是把要求的方程偏微分形式转化成积分形式，而这一过程主要通过两个途径：加权余值法和变分法。而等效积分弱形式是针对加权余值法来说的。把强形式转化为弱形式，是前期有限元的核心技术；随着技术的进步和发展，才慢慢将变分法引入到有限元，从一定程度上说，变分法比加权余值更加先进合理，其实现在的变分法还在逐渐进步和发展，当然也有一些争议，比如对我国胡海昌院士提出的广义变分原理独立变量数目的争议，但总体来说，变分法是优越于加权余值法的。这也是为什么大部分商业cae软件采用变分法的原因（COMSOL，FEPG除外）！
将微分方程转化为弱形式，这个弱并不是弱化对方程解的结果，而是弱化对解方程得要求，具体点是弱化待求变量的连续性，当然这种弱化是以提高权函数的连续性为代价的。通过引入权函数或试函数，将微分方程转化为等效积分方程，要使这一积分形式有解或者说存在，就必须对权函数和待求变量加以限制，将等效积分形式分步积分，得到的形式就称为等效积分弱形式。因为分步积分后，算子导数阶次降低，对待求变量的连续性降低，这就起到了弱化作用，将近似解带入微分方程会有余值，而这余值形式中又有我们前面引入的权函数，所以我们把这种余值的加权积分，称为加权余值法，这一名称应该就是这么来的。为了保证微分形式和积分形式是等效的 ，引入的权函数必须任意的，如果选权函数为待求变量解前面的形函数，那么这一形式就变成我们所说的伽辽金法（Galerkin法),因此可以说，伽辽金法是众多加权余值法中的一种，都是在近似试函数中选择参数，得到近似解。而里兹法(Ritz) 是基于变分原理的。有些人总不分变分和加权残值法，其实这两种方法是不同的，虽然有时候是等效的。

ma

力学中的各种变分原理主要包括
最小势能原理
最小余能原理
Hellinger-Reissner变分原理
Hu-Washizu广义变分原理
经典的Ritz法

dragon_2002_sd

mark对有限元方法的总结深刻透彻！我最近正在看王勖成的《有限元方法》清华大学出版社，2003。书中对有限元的基础理论分析的非常深刻，顺便向大家推荐一下！

bingo555

个人认为哈密尔顿原理也是一种虚功原理，不过多了运动项，所以能量分为动能和应变能。至于HR原理，是最小余能原理放松了力平衡条件和力边界条件的产物，在有限元设计中很有用处。这些条件的放松，包括连续性条件的减弱太重要了。

zzmmxx

有限元理论的基础应该说是变分原理,变分原理是求泛函的极值问题,但并不是所有的微分方程都能转化成泛函极值问题,所以,权余法就显示出了它的优点,特别是伽辽金法,精度还可以,所以,强热推荐学习伽辽金法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

tyuuiii

哈密顿原理在物理上与变分法原理是一致的，很多道理是在物理上有所突破，再到了力学上

wfq

哈密顿原理与变分法原理是有限元法的基础理论！

knightman

我是来帮助顶帖子的。 给分，最好咯，多多益善。 不给分，我也不会怪楼主。 嘿嘿！

seaseastar

混积分来了。越来越觉得版主厉害了阿。当然各位大牛也很厉害阿。
现在一直在将这些词跟脑子里的东西对上号。感觉如果有人回帖的时候将关键字写上英文就太好了。我只是梦想。呵呵
谢谢各位先。学习学习。还没反应过来哈密而顿原理。。。。。。hamilton ，是那个正三角，倒三角还是L。。。。

rushi241

当时学分析力学的时候也没明白什么回事

explorecn

谢谢哦，谢谢