我对高斯积分公式理解出了什么问题，急

pacoyang

[-1，+1]范围内f(x)的两点高斯积分=f(-0.57735)+f(+0.57735)。对于下面三条正态分布（负无穷到正无穷积分为1.0）曲线。应用上面公式明显不对---x=0处最高的那条曲线[-1，+1]内积分应接近1。高斯积分法也是很好的理论基础，也不能就我这三下两下都就推翻了，那我也太厉害了~~~到底我是哪里理解错了。被积函数需要什么条件！！！

messenger

这有啥可问的，就多用几个积分点呗

用两点就能求积分，本来也是在不得己的情况下用的

如果求一个Delta函数，那还差了100%呢

pacoyang

谢谢捧场！！

seaseastar

一般的高斯公式一般只用于polynomial 吧。推导高斯点的时候一般是获得高斯积分点，将函数在该点的值乘以相应的权值来求得这个函数的带权函数积分值。如果积分内的权函数为1，积分范围为【－1，1】，则是一般提到的求函数积分值的高斯公式，也叫做gauss-lerande积分点。因为该积分点的获取应用到了lerande函数在积分范围内的正交性能。然后求一个n次方的多项式的驻点值，该点就是高斯点。因而这种方法一般是能精确求出2n-1次方的polynomial的积分值。

另外，就算是polynomial,但是如果是分子，分母都有polynomial时，同样也是不能用高斯方法精确求得该函数的积分值的。这也就是average strain方法的目的就是为了避免求这种函数的积分。

如果是delta 函数，是不是要根据别的函数空间内（非lerande）的函数来构造高斯点呢？就不太清楚到底有没有这种函数空间了。

pacoyang

看来数值分析的编写法有些整人。
你看数值分析的数值积分那一章。先是[a,b]内f(x)可以等分成n段，有n+1个节点，可以用simpson法，梯形法，什么牛顿-柯特斯法一大堆；接着说有种方法不用等分积分区间，而且积分精度很高，这就是高斯积分，这个方法在[-1，+1]范围类有固定的积分点，然后列出表格，几分点数等于1，2，3，4，.....时的积分点和权重，并且[a，b]的积分可以转化到[-1，+1]，还煞有介事举例[0,+1]的1/sqrt(1+x)，[0,pi/2]的sinx等的积分精度在只取两积分点是到了小数点后面4位，5位的。完全给人（我）一种错觉就是这个积分法了不起，只要把[a，b]区间采用换元法变到[-1，+1]内用两个积分点就ok了，精确到后面4位足够了！！！！！！！！！实际上这是一种幻觉。对于上面的问题[-1，+1]的积分，你同样需要把该区间划分成许多段，每一段再映射到[-1，+1]，每段内再用高斯积分，比如说2点的，每段几分再求和。只不过，对高斯积分，你可能分成10段就有不错的结果，用simpson话可能需要分成20段。
我的实际问题时3维的，采用一维函数来找出理解上错误而已..........

liuhui-wuhan

有两点要说明：
1.高斯积分一般对于多项式函数，但这个也不绝对；如对于正弦函数，采用两个高斯点进行积分，显然不能得到好的解答。
2.对于线性函数，两个高斯积分点就可以得到精确解，对于高次函数，相应的积分点也应该取多一点才有可能得到精确解。