][有限元知识] 几种能量及能量平衡方程

weixiaogang0323

（1）虚功

在力学领域中，功是力和位移。虚功对应的有两种：虚位移和虚力。虚功和实际做的功之间差异在于当力和位移呈线性关系时，虚功为力*位移，而实际做的功为1/2*力*位移。

虚位移：可以是任何无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构边界上必须满足运动学边界，例如对于悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零。

虚力：所假设的应力场，在结构内部满足力平衡方程，在相邻单元的公共边界上虚应力是平衡的，但位移是不连续的。

（2）应变能

在外力作用下，物体内部产生应力｛σ｝和应变｛ε｝。假定外力从0开始逐渐增加的，应力和应变也将从0开始逐渐增加的。在这个过程中，单位体积内应力所做的功称为应变能密度，为∫{σ}[size=+0]Td{ε}。在物体的整个体积内积分，得到物体的应变能。

（3）余应变能

同应变能相似的有余应变能密度，为∫{ε}[size=+0]Td{σ}。在物体的整个体积内积分，得到物体的余应变能。

对比应变能和余应变能可以发现，应变能是以应变作为主参数，在下一步的平衡方程其确定的是刚度；余应变能是以应力作为主参数，在下一步的平衡方程确定的是柔度。

（4）虚位移原理（势能原理、虚功原理）

设结构在荷载作用下处于平衡状态。假定由于任何其他原因，使结构从其平衡位置偏离一个任意微小的、为边界约束条件所允许的虚位移（可以看作是真实位移的一个变分），荷载在虚位移上所作的虚功，将等于其内部应力在相应应变上所积累的虚变形势能。故虚位移原理可表述为：弹性结构平衡的必要与充分条件是，对于任意微小的虚位移,荷载所作的总虚功δW等于其内部所积累的虚变形势能δU。即δU-δW＝0。

（4）最小势能原理

设结构在P力系作用下处于平衡。在某一可能虚位移过程中,与Pi力相应的虚位移设为Δi,则由可能虚位移引起的荷载势能变化为,将使结构增加变形。

设由此引起的变形势能的改变为δU,则结构的总势能改变δП可定义为内外两种势能变化之差，即。

但是,在这个虚位移中，荷载始终保持不变，因而П只是可能虚位移的函数。故此式可改写成。
泛函 П＝U-W代表结构在虚位移中的总势能。当结构处于平衡状态时,已知U＝W,从而有δП＝0,它说明：在一切满足边界条件的虚位移中，同时满足平衡条件的虚位移对应于结构势能的一个驻值，这就是结构势能驻值原理。对于线弹性结构，势能的二阶变分恒为正，因而使总势能取最小值，所以这个原理又称最小势能原理。它意味着在所有满足边界条件的虚位移中，能使结构势能为最小的虚位移，满足平衡条件，因而就是真实的位移。在这种情况下，结构势能的驻值条件等价于平衡条件。

（5）虚力原理（余能原理）

设结构在荷载和支承位移影响下处于平衡状态。在位移保持不变的情况下，若让真实应力σ发生微小改变δσ,且使它们满足平衡条件和应力边界条件（称为可能虚应力），则虚力原理可表述为：对一切可能虚应力δσ而言，结构满足变形协调方程的必要和充分条件是，对于任意微小的可能虚应力，其变形余能的一阶变分δU*,等于位移边界上的相应边界反力所作荷载余功的一阶变分δW*，即。

（6）最小余能原理

结构的余能变分可定义为

式中Ri、Ci分别为支承反力和相应的支承位移。在可能应力的变化过程中，应变和位移均保持不变，因而此式可改写为
泛函代表结构的总余能，由余能原理，有δП*=0 。它说明：在所有满足平衡条件及边界条件的应力场中，同时满足相容应变场的应力场，对应于余能的一个驻值，这就是余能驻值原理。对于线弹性结构，因有,已知势能U的二阶变分恒为正,故П*将取最小值，因而最小余能原理可表述为：在一切满足平衡方程及边界条件的应力场中，真实的应力场应能使泛函П*成为最小。因而，余能的驻值条件等价于变形协调条件。
（7）小结
最小势能原理和最小余能原理的基本区别在于：最小势能原理对应的是结构的平衡条件，是以位移作为变量，而最小余能原理对应的是结构变形协调条件，是以力为变量。

注：
1. 为什么按最小势能原理求的的位移近似解会小于位移精确解呢？
解答：按最小势能原理求解时，必须先假定单元位移函数。这些位移函数是连续的，但确实近似的，从物体中取出的一个单元，作为连续介质的一部分，本来具有无限个自由度，在采用位移函数后，只有以节点位移表示的有限个自由度，位移函数对单元的变形能力有所限制，使单元的刚度增加了，物体的整体刚度也随之增加，因此计算的位移近似解将小于精确解，具有下限性质。
2. 为什么按最小余能原理求的的位移近似解会大于或等于位移精确解呢？
解答：按最小余能原理求解时，在相邻单元的公共边界上，应力是平衡的，但位移是不连续的，计算模型的变形能力增加了，比真实物体更柔，按最小余能原理计算的位移近似解将大于等于精确解，具有上限性质。

参考资料：
1.朱伯芳，有限单元法原理与应用（第三版），中国水利水电出版社&知识产权出版社，2009
2.

能量原理

http://www.hudong.com/wiki/能量原理

yanqun4772

mark一下，学习一下。。。。

koko1120

mark一下，学习一下。。。。

fengrui87

感谢分享！！

s20071970

写的非常好，简单明了

robinson2012

好久不看理论了，回顾一下

水胖娃儿

:):):):):):):):)

bhelite

学习了。。。。。。。。。

lkfire

写的非常好，简单明了