有限元思路

tonnyw

ggbbggb 发表于 2014-10-24 22:42
Reddy （第三版）把加权积分形式的weak form 也叫做变分，第二章有相当篇幅在谈这些，我copy最直接的一句 ...

对的，Reddy这里说了，弱形式和变分原理并非等价。弱形式总是存在的，泛函却并不是总存在。Navier-Stokes方程就不存在泛函。

ggbbggb

liuichini 发表于 2014-10-24 22:22
把这个补充完，

这里重新码过的文字，是我在请教tonnyw版主前的一个想法，就在码字（第一次给出不准确表 ...

weight function 可以放宽很多的，反正发可以容易证明 。见
Calculus of Variations: with Applications to Physics and Engineering by Robert Weinstock

tonnyw

liuichini 发表于 2014-10-24 22:29
回ggbbggb网友，等效积分形式和其弱形式至少从形式上是不等效的。

个人直觉认为，集中力之类的东西在积分 ...

用D表示微分方程： -u'' = f   0<x<1, u(0) = u(1) = 0

W表示弱形式: (u', v') = (f, v)
这里的v应该满足以下调价：1. v在 0<x<1上连续， v'应该分片连续并且有界。

我们想知道两者是否等价：D<->W

针对上面提出的例子可以看出：
如果u满足D，那么u一定满足W，即：D->W

如果u满足W，并且二阶连续的话，那么u一定满足D, 即W->D

所以只有二阶导数连续的情况下，D和W才等价。等价是对u的连续性有要求的。

ggbbggb

tonnyw 发表于 2014-10-24 23:17
用D表示微分方程： -u'' = f   0D

所以只有二阶导数连续的情况下，D和W才等价。等价是对u的连续性有要求 ...

这个要求已经隐含在这种形式的weak form 中，只要 weak form 中的已知f是连续函数，u‘’ 一定是连续的，所以值得商酌这个形式（是weighted -integral 形式）可否叫weak form。

在通过分部积分那种简化后的weak form ，有这个连续性要求。

liuichini

ggbbggb 发表于 2014-10-24 22:57
形式是不同，但是只要strong form （微分方程） make sense，一定可以等效转换为积分形式的weak form提法 ...

我前面回你的只谈了一个问题，另一个是在回tonnyw版主是说到的，因此导致了交流的障碍，这个相关的问题就是对强形式和弱形式的理解上的差别。
我是沿用了王勖成的说法（因此也就是OCZ的说法），不是从微分积分形式上去区别，一方面，把直接导出的微风方程看做是强形式，同时也把与之等效的积分形式也看做是强形式，对弱化了的积分形式看做是弱形式。
所以，不考虑对弱形式的理解的不同，我对你这个回复里的说法没有任何异议，反而是我在此前多处提到了，当然我是为了说明等效积分形式以及为何我认为等效积分形式也为强形式。

liuichini

tonnyw 发表于 2014-10-24 23:17
用D表示微分方程： -u'' = f   0D

所以只有二阶导数连续的情况下，D和W才等价。等价是对u的连续性有要求 ...

第一，我不赞同你把积分形式看做弱形式，第二，正如ggbbggb所说，对u的连续性要求实际上包括在积分形式里。我不同意ggbbggb的就是，那个所谓的加权是很有必要的，正是因为有了那个“加权”才可以保证两者的等价性，而且这种保证是通过要求积分形式对任意的“加权”函数都成立来实现的。
实际上，从形式上看，虽然是积分形式，但直接从微分方程导出积分形式时，只不过是把微分方程左端项直接搬到被积函数里罢了，单单看形式，两者对待求场函数的连续性要求就是等价的。

liuichini

书我就不翻了，OCZ的书里只是把通过分部积分变换后的积分形式才叫做弱形式（weak）。

liuichini

哪天我把我对微分形式与等效积分形式的等效性的证明搬上来。

tonnyw

liuichini 发表于 2014-10-25 07:56
我前面回你的只谈了一个问题，另一个是在回tonnyw版主是说到的，因此导致了交流的障碍，这个相关的问题就 ...

如果不采用积分形式，如何降低倒数连续性的要求呢？

tonnyw

liuichini 发表于 2014-10-25 08:02
第一，我不赞同你把积分形式看做弱形式，第二，正如ggbbggb所说，对u的连续性要求实际上包括在积分形式里 ...

第一，我不赞同你把积分形式看做弱形式，第二，正如ggbbggb所说，对u的连续性要求实际上包括在积分形式里。我不同意ggbbggb的就是，那个所谓的加权是很有必要的，正是因为有了那个“加权”才可以保证两者的等价性，而且这种保证是通过要求积分形式对任意的“加权”函数都成立来实现的。
》》那个加权函数只需要连续和分片可导并且有界即可。但是对于微分方程，u却要二阶导数连续，很显然这个要求要强一些。

实际上，从形式上看，虽然是积分形式，但直接从微分方程导出积分形式时，只不过是把微分方程左端项直接搬到被积函数里罢了，单单看形式，两者对待求场函数的连续性要求就是等价的。
》》正如ggbbggb所说的，微分方程直接搬到被积函数后并不是弱形式，只有采用格林公式后，把解的倒数降阶后才称为弱形式。两者对待求场函数的连续性要求不一样。

tonnyw

liuichini 发表于 2014-10-25 08:04
哪天我把我对微分形式与等效积分形式的等效性的证明搬上来。

哪天我把我对微分形式与等效积分形式的等效性的证明搬上来。
》》强形式和弱形式是等价的，前提条件是解充分光滑。

还是同一个例子：-u''=delta(x-1/2),  0<x<1, u(0) = u(1) = 0

弱形式： （u', v') = (delta(x-1/2), v), 0<x<1, for any v belongs to the space H^0_1 = { sqrt(v', v')  < infinity, v(0) = v(1) =0}， 注意 u属于H^0_1

现在我的问题是：能从这个弱形式推导出强形式吗？答案应该是不能。因为在弱形式我们对u的要求只是是平方可积。由于u在x=1/2出导数不存在，所以由弱形式无法采用分步积分推导出强形式。

liuichini

tonnyw 发表于 2014-10-25 10:29
哪天我把我对微分形式与等效积分形式的等效性的证明搬上来。
》》强形式和弱形式是等价的，前提条件是解 ...

你的回复同有三个，其实我们的分歧的关键点就在于对弱形式的理解，正如ggbbggb某个跟帖里所指出的。为了便于讨论，我把我的理解再整理一下放在这里：

1、微分形式为强形式，这点上，我们是一致的；
2、我个人的理解是，凡是与微分形式这种强形式等价的（或者说等效的）形式皆为强形式，比如等效积分形式；
3、如果不能从积分形式导出相应的微分形式，则为弱形式，如等效积分弱形式（这个是王勖成的表述，OCZ的表述没有积分两个字，不过，OCZ的表述很有意思，其小节标题用的是Integal- or weak form）；在这点上，我们有分歧，我这个理解，也是王勖成的表述，也是OCZ的表述（尽管OCZ没有明确说，但他只是把经过分部积分变换后的积分形式才叫做弱形式）；

回到你的例子，你这个例子里的表述，就是按我的理解，也是弱形式，自然与微分形式不等价。

tonnyw

liuichini 发表于 2014-10-25 11:29
你的回复同有三个，其实我们的分歧的关键点就在于对弱形式的理解，正如ggbbggb某个跟帖里所指出的。为了 ...

强弱形式的区分在于对导数连续性的要求。正如我上面提到的，强形式要求二阶导数连续，而弱形式只要求导数平方可积。

chenliang162

谢谢分享

ggbbggb

很高兴看到论坛上面能讨论到这些细节上。
刚翻阅了一些几大著作。Bathe （1996）, Cook et al (2002, 4th ed), Reddy 2006 (3rd ed), OCZ （5th ed）, 王大。

Bathe （Page 124 footnote）:
In the literature, differential and variational formulations are respectively referred to as strong and weak forms.
Variational formulations are also referred to as generalized formulations.
这里Variational formulation 指我们的传统的变分原理。

Cook （Page 136）：
跟Bathe 一样的。我copy一下weak form的定义。
An integral expression such as a functional that implicitly contains the differential equations is called the weak form.

Reddy （Pages 58-62）：
Section 2.4.1. A weak form is defined to be a weighted integral statement of a differential equation in which differentiation is transferred from the dependent variable to the weight function such that all natural boundary conditions of the problem are also included in the integral statement.
Reddy的weighted integral statement跟下面要说的OCZ和王大 不同， 见该书（2.4.9）p61。它没有把边界条件加进来，而只是对微分方程加了个weighted integral。

OCZ（p42-43）和王大（p14-18）是一致的（毫无疑问 王书这些内容是翻译的改版而已）。先谈王书
Section 1.2.1 微分方程的等效积分形式， 把微分方程和边界条件 都 weighted integral，见（1.2.8）。 所以有2个weight vectors （v 和 v_bar）. 这个形式和strong form （differential equation+boundary conditions）是完全在数学上等价。
Section 1.2.2 等效积分的“弱”形式 （王 书 仿照 OCZ 对 weak 也 打了 引号）。很多情况下，可以对 （1.2.8）进行分部积分，从而得到weak form 如（1.2.9）。
该书的section 1.2.3继续讨论等效积分的近似方法 （加权余量），也讨论了对 （1.2.9）这个等效积分“弱”形式的近似形式。
把王大的上面一些还原成英文，就是OCZ的 Integral statement or “weak” statements equivalent to the differential equations。

OCZ p43 最后一段提到 Integral statement or “weak” statements （相当于王书 （1.2.8） 和 （1.2.9）） will form the basis of finite element approximations。这句话在王书中没有体现，尽管王 的 1.2.3节对两种情况都进行了近似。

在这对OCZ的最后这句做个说明，确实我们可以不通过分部积分来直接develop FE formulations，如直接对等效积分形式进行离散近似，选用一些weight functions，就可以形成[K]{U}={F},但是这样的后果是 [K]不对阵，如果分部积分能使 w 和 u同阶（微分），那么就可以有个对阵的 K，而且有个“好”的结果 in terms of energy norm of error （这一点被我们的伯乐版主加了技术分）。所以对我们常见的可以被分部积分达到w和u同阶，那我们就实施就这个步骤。对于分部积分不可以达到这目的，我们就可以直接从等效积分来develop FE formulations （或者进行分部积分也行，像u’’’=f,你可以分部积分来降低u的连续性要求，对u’=f 你用分部积分或不用分部积分差别不大）。

纵观上面的讨论，对这部分内容，我最喜欢的是OCZ。

对于楼主反复提到的等效积分就是strong form （differential eqs+boundary condtions)的提法，我尽管给不出很好的反驳理由，因为数学上确实完全等价，但是既然王大书中有 “弱形式的等效积分”我们把 这个 完全等效的积分形式叫做 “强形式的等效积分”未尝不可，可能这是楼主想表达的，但是我觉得最好把它和 strong form 本身区别开来，因为这些名字本身就是在谈“form”。

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-10-25 18:15
很高兴看到论坛上面能讨论到这些细节上。
刚翻阅了一些几大著作。Bathe （1996）, Cook et al (2002, 4th e ...

没有注意到关于弱形式还有这么多说法，学习了！

我的见解:是不是把焦距拉远一点来看。因为强形式，弱形式的说法实际上是个数学概念，看看数学家的说法要可靠的多（上述Bathe，Cook都应该是偏应用的）。比如说wiki上说

In a weak formulation, an equation is no longer required to hold absolutely (and this is not even well defined) and has instead weak solutions only with respect to certain "test vectors" or "test functions".

In mathematics, a weak solution (also called a generalized solution) to an ordinary or partial differential equation is a function for which the derivatives may not all exist but which is nonetheless deemed to satisfy the equation in some precisely defined sense

在http://math.stackexchange.com/qu ... d-weak-formulations有更详细的讨论（公式太多，我就不拷贝了）

在iMechanic（http://imechanica.org/node/13788），Akumar这样解释ZienKiewicz & Taylor和Cook
Weak form means, instead of solving a differential equation of the underlying problem, an integral function is solved. The integral function implicitly contains the differential equations, however it's a lot easier to solve an integral function than to solve a differential function. Also, the differential equation of system poses conditions that must be satisfied by the solution (hence called STRONG form), whereas, the integral equation states that those conditions need to be satisfied in an average sense (hence WEAK form). However, do not understimate the power of integral functions just by its name "weak form".
这是一种简单易懂的说法

tonnyw

hillyuan 发表于 2014-10-25 21:04
没有注意到关于弱形式还有这么多说法，学习了！

我的见解:是不是把焦距拉远一点来看。因为强形式，弱形 ...

既然hillyuan提到数学家的定义更严格一些，在Claes Johnson 的Numerical solution of partial differential equations by the finite element method中，他提出了事实上有三个问题是等价的：
1. 边界值问题（强形式）
2. 相应于最小余能原理的最小化问题
3. Variational problem （弱形式）

有兴趣，大家可以看一下，以免我的理解有偏差。

tonnyw

ggbbggb 发表于 2014-10-25 18:15
很高兴看到论坛上面能讨论到这些细节上。
刚翻阅了一些几大著作。Bathe （1996）, Cook et al (2002, 4th e ...

OCZ（p42-43）和王大（p14-18）是一致的（毫无疑问 王书这些内容是翻译的改版而已）。先谈王书
Section 1.2.1 微分方程的等效积分形式， 把微分方程和边界条件 都 weighted integral，见（1.2.8）。
》》Hu-Washizu广义变分原理都是这么操作的。

在这对OCZ的最后这句做个说明，确实我们可以不通过分部积分来直接develop FE formulations。
》》这样做的问题是test function和trial function属于不同的空间，会出现空间匹配的问题，而且对u''直接操作的话要求test function必须是C1连续。另外如果方程中出现u'''或者u'项，由于泛函不存在，变分原理不适用，而且这时相对能量范数有限元解并不一定是误差最小的。

liuichini

讨论到这里，估计大家要表达的意思也都差不多了，我的感觉是，大家没有根本性的分歧，有异议的不过是叫法而已，显然，在这点上不大容易达成一致，那就存异吧。引起这个问题的是我原本想请教tonnyw版主的那个问题，我自己有空了再看看变分法，这回是带着问题仔细地看。

哪位再找个新的话题来讨论讨论？当然，也欢迎各位在这个楼里继续就这个话题讨论。

tonnyw

liuichini 发表于 2014-10-25 23:14
讨论到这里，估计大家要表达的意思也都差不多了，我的感觉是，大家没有根本性的分歧，有异议的不过是叫法而 ...

非常高兴有这样的讨论，对于强弱形式的定义，在有限元领域已经约定俗成。你所附的资料，由于时间关系只能一次写一点回复，我还要接着讨论。