有限元思路

keyboard

谢谢楼主分享

lucheng12

:lol:lol:lol:lol

448793461

总结的很不错，收获很大

wo122345

谢谢分享

refeihc

过去了好久的帖子，感觉tonnyw有一个先入的看法，甚至获得了其它人的赞同，就是微分方程也叫着“强形式”，有点奇怪。

个人观点，微分方程就是微分方程，不属于“形式”一类。

tonnyw

refeihc 发表于 2016-3-28 19:09
过去了好久的帖子，感觉tonnyw有一个先入的看法，甚至获得了其它人的赞同，就是微分方程也叫着“强形式”， ...

强形式（Strong form）和弱形式（weak form）的说法，大家都这么称呼，不是我的发明。

模型的强形式表达方式就是控制方程。

refeihc

tonnyw 发表于 2016-4-5 22:20
强形式（Strong form）和弱形式（weak form）的说法，大家都这么称呼，不是我的发明。

模型的强形式表达方式就是控制方程。

我好像没见过这个定义，感觉是你下的。

refeihc

举个例子，知名演员有替身，比如武替、裸替、舞替、马替等。替身中能替一项的叫弱替身，能替至少两项的叫强替身。

如果有人说章子怡是她的强替身，感觉是不是有点怪？

tonnyw

refeihc 发表于 2016-4-6 14:10
我好像没见过这个定义，感觉是你下的。

这有个链接，你看完第二章，我们再讨论。
http://www.ce.berkeley.edu/projects/feap/theory.pdf

tonnyw

refeihc 发表于 2016-4-6 14:18
举个例子，知名演员有替身，比如武替、裸替、舞替、马替等。替身中能替一项的叫弱替身，能替至少两项的叫强 ...

This is a silly comparison and doesn't make sense whatsoever.

liuichini

tonnyw，refeihc两位，关于强形式和弱形式，因为这里的争论，我特地找了很多经典著作来看了，两种说法都有，主流看法是，微分形式为强形式，积分形式为弱形式，但也有把等效积分形式看做强形式的。我个人还是坚持我原来的看法，也就是把等效积分形式看做强形式。

refeihc

liuichini 发表于 2016-4-7 09:14
tonnyw，refeihc两位，关于强形式和弱形式，因为这里的争论，我特地找了很多经典著作来看了，两种说法都有 ...

我也查了一些资料，才发现有两套做法，并且各有一批支持与使用者。

好象你在一楼整理的内容不是把微分方程当成强形式的，至于主流做法是不是这样，那得看有多少合理性。

本来这是个概念定义的问题，不是有限元的核心，但是由于要讲课，不得不弄清楚。

我认为把等效积分形式当着强形式，而经过分布积分后的积分形式称着弱形式，这样描述更恰当，有关的说明整理后再发吧。

tonnyw

liuichini 发表于 2016-4-7 09:14
tonnyw，refeihc两位，关于强形式和弱形式，因为这里的争论，我特地找了很多经典著作来看了，两种说法都有 ...

我看不出把等效积分形式当成强形式有什么益处，可能只有王瑁成这么称呼。等效积分还得要引入另外一个函数，这个函数还不是随随便便的函数，要求它必须平方可积。直接说，强形式为控制微分方程（微分格式，导数连续性要求高），弱形式为积分方程（积分格式，导数连续性要求降低），在我看来更简便，对照更鲜明。

数学家对定义的要求更严格些，所以有关强弱形式的定义，不妨参考数学家写的关于有限元方面的书籍。

refeihc

大致看了Taylor的这篇FEAP的theory manual，感觉和Zienkiewicz牵头的那本专著The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals(7th edition)中的描述相类似。
抽时间也看了许多国内外的参考书，在这里总结一下。

有以下三种数学式

(1)微分方程(组)和边界条件



(2)积分方程


(3)分部积分后的积分方程


对于上面几类方程，有下面的典型叫法。

一、Zienkiewicz 和 Taylor 等的上述2本书中把式(1)称为微分方程，也称为强形式，注意他们的原话“The partial differential equation together with the boundary and initial
conditions is called the strong form of the problem.”，表明式(1)被称为是“问题的强形式”。

他们建立的 weak form 经过了四步，包括任意函数乘方程、转化为积分方程、分部积分、适当的引入边界条件，这本质上相当于式(3)被他们称为 the weak form of the problem 或“问题的弱形式”。

但是式(2)该叫什么形式呢？在上述两本书中没有找到。

所以虽然有很多人也采用这种叫法，但是感觉还是不够理想，因为式(2)叫什么说不清楚了。

二、王勖成的书中把式(2)称为“等效积分方程”，把式(3)称为“等效积分方程的弱形式”。不少读者会自然地认为“非弱即强”，所以会把式(2)称为“等效积分方程的强形式”。注意式(2)和式(3)都是“等效积分方程”，形式有强有弱，而式(1)就是微分方程，无所谓强弱，这种叫法很清楚，楼主就是采用的这种表示方法。

三、有意思的是，在 Zienkiewicz 和 Taylor 专著 The Finite Element Method， Vol 1, The Basis, 5th edition中，他们却是采用了和王勖成书中同样的称呼。至于为什么到了第7版他们不用这种叫法了，只能猜测他们没有意识到这里有问题，因而叫得比较随意。

我在126楼打的比方，就是把式(2)和式(3)都当成是式(1)的等效积分方程，后者是弱形式，这也是楼主的原意，因此，再说微分方程式(1)是(自己的或积分方程的)强形式当然奇怪了。

refeihc

tonnyw 发表于 2016-4-8 23:52
我看不出把等效积分形式当成强形式有什么益处，可能只有王瑁成这么称呼。等效积分还得要引入另外一个函数 ...

强弱形式都是对等效积分方程给出的，强形式对光滑性要求高，而弱形式对光滑性要求低。

我认为 Zienkiewicz 和 Taylor 等关于“微分方程是强形式、经过分部积分后的积分方程是弱形式”这样的表述是谈不上严谨的，除了132楼所说的原因之外，另一个原因是至少强弱要用来区分同类的事物吧。微分方程中的函数的光滑性是在经典函数空间中定义的，而积分方程中函数的光滑性却是在希尔伯特空间中定义，这两个函数空间、其中的函数积分、光滑性甚至函数相等的意义都很不一样，因此上述强弱表述就比较牵强。

如果 只是对 有不同光滑性要求 的 等效积分方程形式 区分强弱 则没有上述问题，如满足强形式的解函数属于，满足弱形式的解函数属于，光滑程度虽有高有低，但相关的函数及其各种定义都属同类。

liuichini

refeihc 发表于 2016-4-15 22:11
大致看了Taylor的这篇FEAP的theory manual，感觉和Zienkiewicz牵头的那本专著The Finite Element Method: I ...

我区分强形式和弱形式，是针对问题而言的，因此微分方程和与其等效的积分形式是强形式，这是我的理解。而不是像你说的那样。

refeihc

liuichini 发表于 2016-4-16 08:19
我区分强形式和弱形式，是针对问题而言的，因此微分方程和与其等效的积分形式是强形式，这是我的理解。而 ...

这样理解很常见，只是我认为常见的就未必好。

如果A和B不同，那么“A的强形式”和“B的弱形式”就是两个不同类型的概念，硬扯到一起容易混乱。

建议剖析一下“等效积分方程的弱形式”、“等效积分方程的强形式”、“微分方程的强形式” 或 “问题的强形式” 这几个术语吧。

tonnyw

refeihc 发表于 2016-4-16 13:58
这样理解很常见，只是我认为常见的就未必好。

如果A和B不同，那么“A的强形式”和“B的弱形式”就是两个 ...

微分方程的强形式? 没听过这种说法。

我不是说了吗, 只有王瑁成称呼 “微分方程的强形式”。 数学家思维比较严谨，不妨参考一下数学家写的有限元方面的书籍，看看他们是怎么定义的。

你所说的积分方程，应该称为加权残量表述。

refeihc

你前面多次提到“强形式”，我不清楚是什么的强形式，所以135楼就给了“微分方程的强形式” 和 “问题的强形式”两个选择，从楼上的回复看，估计你能接受”问题的强形式“这样的表述吧？

在OCZ和王勖成的书中，我没有找到“微分方程的强形式”这一表述，连“等效积分方程的强形式”的表述好象也没有。

也没有见过”加权残量表述“这样的术语。

tonnyw

refeihc 发表于 2016-4-19 11:05
你前面多次提到“强形式”，我不清楚是什么的强形式，所以135楼就给了“微分方程的强形式” 和 “问题的强 ...

我的意思是对于一个数学模型可以用两种形式表述：强形式即微分方程；弱形式即变分方程

等效积分方程的强形式的说法是楼上某位先生说的，我需要更正，在王瑁成的书中，他只提到了微分方程的等效积分形式，没提”等效积分方程的强形式“。