【讨论】边界元与有限元方法相比较的优缺点

czjun

我先说几点，来个抛砖引玉吧！
1、边界元方法使问题的维数降低一维，例如：三维问题变为二维问题，二维变成一维问题。使得解题的自由度下降。
2、边界元相对于有限元来说，在相同离散精度的条件下，边界元解的精度要高于有限元。
3、边界元方法在有些情况下，可以较容易地处理有限元方法很难处理的问题，例如，无限域问题，断裂问题等。
4、在问题的规模(自由度)不大的情况下，边界元的解题速度高于有限元方法。但是，由于边界元方法形成的线性方程组的系数矩阵是满阵，所以在处理大规模问题时遇到了困难，解题的规模受到限制。适合于处理中小规模问题。
5、边界元适合于处理位势问题、弹性问题，而在处理弹塑性问题或大的有限变形问题时，由于需要对物体进行体积离散，此时，边界元降维的优点消失。所以会在处理这一类问题时遇到一些困难。
6、边界元相对于有限元来说，其软件的商业化程度远不如有限元。所以，其处理问题时，一般是针对某一问题专门编制程序进行计算。其前、后处理的工作量较大。
7、边界元方法解题需要求出问题的基本解，基本解的推导一般比较复杂。通过许多学者的努力对于一些问题，基本解已经被推导出来，但是，对于某些问题，问题的基本解很难求出。

wgao

加分鼓励，欢迎大家参与讨论

BG

我也没专门看过说不太好，但二者的耦合起来解决问题还是有人做的，尤其是模拟半无限空间体时一般用有限元对分析域内部进行求解，而在边界上采用边界元，这在二维、三维波动问题数值模拟中还是较为常用的吧，为了便于比较我在这给大家分享一本从论坛中下下来得英文讲义吧，它的特点是既有有限元又有边界元，有兴趣的认真看看吧：）

czjun

我想，这正是充分地发挥两者的优势。利用有限元适合于解决大规模问题和边界元适合于解决无限域问题和解的精度高的特点，来更好地解决实际问题！对于有些问题，用两者耦合的方法是比较好的！
你上传的资料，我大致看了一下。很好的！谢谢BG！

simwestone

一本书上关于有限元和边界元的比较，摘录如下：
有限元基于区域上的变分原理和剖分插值，边界元基于边界归化及边界上的剖分插值；
有限元属于区域法，其剖分涉及到整个区域，而边界元只需对边界离散，因此，可以降低求解问题的维数；
有限元法待求未知数多，要求解的方程规模大，导致输入数据多，计算的准备工作量大，边界元法则相对规模小一些；
有限元必须同时对所有域内节点和边界节点联立求解，边界元只需对边界节点联立求解，然后可以相互独立、完全并行的计算域内各点的函数值；
有限元的系数矩阵带状稀疏，且保持对称正定性，边界元法的矩阵为满矩阵，一般不能保证正定对称性；
有限元适应复杂的几何形状和边界条件，适于求解非线性、非匀质问题，边界元仅适应规则区域及边界条件，适于求解线性、匀质问题；
有限元适合于求解有界区域无奇异性问题，而边界元适合于求无界区域问题及若干奇异性问题；
对于狭长区域，有限元的精度高于边界元，其它情况下，边界元的精度较高。

xjiang01

推荐几本边界元论著。

ainite

上面这几本书还可以，堪称经典的还是老布的那本 The Boundary Element Method for Engineers，有中文译本，算是国内较早的边界元入门书籍了，中文名称：《工程师用的边界元法》C.A.Brebbia  科学出版社1986.7
布莱比亚先生现在在英国主持一个学术刊物，国内不少文章都投向那边。

pengpenghsu

还有边界元采用的奇异的基本解在某些奇性问题中有很好的效果，这是有限元做不到的

jeffjuju

但是边界元解是否唯一似乎还没有被证明

pengpenghsu

要靠数学家们去攻关了

zzgrnr

这个应该已经被解决了吧！

lzhxy

大家好，有限元法、有限差分法、边界法，这和拉格朗日法，欧拉法，任意拉格朗日欧拉法，和无网格法有什么对应关系吗？还是说他们是不同的分类。请高手解答。

zjjyyy

总结一下，献丑了

从数学推导上讲，有限元是直接对微分方程采取Galerkin形式的加权余量法，而传统边界元是对积分方程采取配点法形式的加权余量法
从力学上讲，有限元是基于最小势能原理的，而传统边界元没有与之对应的变分格式

从在数值计算上讲，有限元的未知量分布于域内和边界上，而边界元的未知量值分布于边界上，这导致了二者在网格划分、计算规模上的不同，但是从另一个角度讲，有限元虽然计算量大，但是他给出更多的信息（即域内的数值解），而边界元虽然求解规模小，但是域内的数值解不能直接给出，需要在求出边界量之后再求解，如果要求边界元求解与有限元同样多的域内解，则边界元的计算效率未必会更高，换一个角度，这正说明边界元非常适于只关心边界变量的情形，也适合于只关心少量域内变量的情形。
有限元适应复杂的几何形状和边界条件，适于求解非线性、非匀质问题，边界元仅适应规则区域及边界条件，适于求解线性、匀质问题；
有限元适合于求解有界区域无奇异性问题，而边界元适合于求**区域问题及若干奇异性问题；
传统边界元将基本未知量降维的“代价”是所的方程的性态不好，系数矩阵是满阵，且不对称，一般不能保证正定性
二者在未知量分布位置上的不同，导致了他们在网格划分、计算规模上的不同
二者未知量的分布、计算结果给出的信息量的不同，导致二者使用问题的不同

有限元对于域内和边界上都会近似解，而边界元在边界上是近似解，在域内是解析解，因而边界元的精度较高

商业化程度低是历史原因，也与边界元方法的物理意义不直观、难以让人接受有关

边界元方法解题需要求出问题的基本解，基本解的推导一般比较复杂。这个应该是说积分方程一般不容易推得，属于理论上的问题。

CAESTUDY

看不懂,学习了