请教：关于单位的零能模式

xiaoqiushui318

有人能比较全面的介绍一下有限元的零能模式是怎么回事吗？最好能举几个实例单元，说明一下单元的零能模式是什么，零能模式产生的原因等等。

另外在那本书能查到比较详细的解释
多谢了

[ 本帖最后由 xiaoqiushui318 于 2007-5-9 16:58 编辑 ]

xiaoqiushui318

最近看了几篇paper，对这个问题有了一点点了解。

我的理解是：零能模式即刚体位移模式。大家知道，单元在发生刚体位移时，其应变能为零，这意味着在不限制刚体位移的情况下跟这些节点位移相关的刚度阵必定是奇异的，且有多少刚体位移模式（零能模式），刚度阵就缺多少秩。在这种情况下，要使整体有限元方程能够求解，必须消去非独立的方程（或采用等效的处理，比如有限元中给定边界位移的处理方式），而且非独立的方程数目等于系统的刚体位移模式的数目。比如说对平面三角形单元，其刚体位移模式有3种，分别是x方向的刚体位移，y方向的刚体位移和单元整体绕法线的刚体转动，为了使得最后的方程可以求解，我们在形成有限元方程的时候，至少要在边界上加3个约束条件以消除刚体位移。

以上请指正。

[ 本帖最后由 xiaoqiushui318 于 2007-5-22 19:42 编辑 ]

hillyuan

原帖由 xiaoqiushui318 于 2007-5-22 19:34 发表
最近看了几篇paper，对这个问题有了一点点了解。

我的理解是：零能模式即刚体位移模式。大家知道，单元在发生刚体位移时，其应变能为零，这意味着在不限制刚体位移的情况下跟这些节点位移相关的刚度阵必定是 ...

WRONG! Rigid motion does has zero energy. But generally zero energy mode doesn't mean this.

Zero energy mode is generally related with quadrature strategy. For example, for a four node rectanglar element., if you choose one quadrature point at the center of the element, pure shear deformation gives no deformation energy. It is zero energy mode.

Zero energy mode frenqently related with shell element and locking problem. For example, thin shell element has shear locking problem. In order to avoid this problem. someone use selective reduce integration method. This method will give rise to some unphysical zero energy mode.

xiaoqiushui318

楼上解释的很好，我的说法不正确，零能模式并不是指刚体位移，虽然刚体位移模式应变能为零。
楼上的能顺便解释一下沙漏现象是怎么回事吗？最好有图说明一下。

bingo555

楼主可能指的是在杂交元中的零能模态，即独立离散的应力对位移插值的应变能衡为零（数学解释即为不满足inf－sup条件）。这种模态是去除刚体位移模式和缩减积分的条件下存在的第三种刚度矩阵缺秩情况！沙漏模式指随意使用缩减积分导致的矩阵缺秩（比如模拟弯曲时用单点积分就很可能出现）。吴长春和卞学鐄先生《非协调数值分析与杂交元方法》第六章就是针对零能模态阐述的，更多的论文可以查阅那章的参考文献。这种模态是杂交/混合元设计时必须考虑的，否则算法不稳定（方程组奇异）。以上是我的理解，欢迎讨论，指正！

xiaoqiushui318

Someone also gave a good explanation about this question. See this website:
http://imechanica.org/node/1459

Hope it is helpful.

bingo555

那个网站真好，谢谢了！

happysimwe

零能模式，简单地说就是非零变形的变形能为零，该变形模式为零能模式。（刚体运动是物体没有变形，不是零能模式）。从工程上讲，存在一种自由变形，对应的刚度为零。算法上讲，减缩积分产生适当的零能模式可以有效地提高计算效率，并减轻位移有限元模型的“刚性”问题。动态问题中，为了允许零能模式，又不希望相应的变形过大，引入了沙漏控制( hour-glass control)， 是一种纯数值算法行为。

其实很多算法都是有非常实际的物理意义，如果抛弃物理意义，只谈数学公式只能把问题复杂化。

songseunghun

dim（D）-r>dim(f),r是单元的刚体位移自由度，f是独立的应力参数，D是节点位移，如果这个不等式成立就说明单元存在零能变形模式。此时单元肯定存在非零的变形模式对能量泛函的贡献为0，其实不为零才是对的。所以我们就要对零能变形模式加以控制。