有限元中伽辽金法与后面讲的单刚总刚集成什么关系？

yanzongbao110

本人对有限元基础理论不是很扎实，最近走马观花的看了不少有限元基础的东西，发现，大部分的都是在前面部分讲虚功原理，最小热能原理，伽辽金，里兹等等，后面用有限元求解实际问题的时候却在用求单刚、总刚集成，我想问一下它们之间有什么关系？为什么讲前面的东西，对后面有什么用？

见笑了！还请大家解答。

bian222

在固体力学里，伽辽金有限元又叫标准有限元方法。它是加权残数法的一种，将权函数与型函数取作一样。通过这样的方式可以推导出单元刚度矩阵来。另外就是通过变分的方法来推单元刚度矩阵，他们到最后的单元刚度矩阵形式是一样的。

caoer

不妨找一些开源的有限元小程序，一看便知。

refeihc

求解力学方程有2大类方法，一类基于等效积分方程，另一类基于最小势能原理。伽略金方法属于前者，而里兹法和有限元法属于后者。

这三种方法有一个共性就是都要先给出一个试探函数形式，它们的本质区别就在这个试探函数形式上。伽略金法和里兹法直接在全区域上给出试探函数，对于复杂区域难以实现。有限元法将区域划分成单元，在单元上给出试探函数，实现起来容易。

在课堂上一般都要讲一下伽略金法和里兹法，这是为了显示有限元法的能耐大。

yanzongbao110

2# bian222

谢谢您的热心指教
不过我还是有疑问，比如我看的曾攀老师书中第三章  杆梁结构的有限元分析原理  中的第一个例子，没有发现用到伽辽金或者其它的方法，而是通过形函数，单刚，总刚，最小势能原理进行求解。
还请耐心指点

yanzongbao110

4# refeihc

多谢帮助，呵呵。。。。

有限元法中进行计算中用的单刚，总刚，最小势能原理求解中，在哪里用的试函数？呵呵。。。。自学中，还请多指点

refeihc

6# yanzongbao110

你在5楼提到了形函数，试探函数就是

yanzongbao110

7# refeihc

多谢了，呵呵。。。其实我就是对此有点不确定，现在算是懂了。。。

可惜我没权给你加分

exp113

求解力学方程有2大类方法，一类基于等效积分方程，另一类基于最小势能原理。伽略金方法属于前者，而里兹法和有限元法属于后者。

这三种方法有一个共性就是都要先给出一个试探函数形式，它们的本质区别就在这个试探 ...
refeihc 发表于 2010-6-14 09:31

不知我说的对不对，不对请指正：这2大类方法分类有所不妥，因为前者是数学上的，后者是物理上的；等效积分是用于求解微分方程用的，其中对于不存在泛函也可使用，具有普遍性；最小势能原理是物理提法，势能对应数学的中泛函，需要泛函存在。

后者只是前者的一个特例
里兹法是整体域上的试函数，有限元是离散域上的试函数

苦雨孤鸿

求解力学方程有2大类方法，一类基于等效积分方程，另一类基于最小势能原理。伽略金方法属于前者，而里兹法和有限元法属于后者。

这三种方法有一个共性就是都要先给出一个试探函数形式，它们的本质区别就在这个试探 ...
refeihc 发表于 2010-6-14 09:31

对你说的有限单元法的概念不是很赞同。
       首先，有限单元法是基于等效积分方程和最小势能原理的，用等效积分方程和最小势能原理都可以推导有限元格式。
      其次，用微分方程的等效积分方程（伽辽金法）可以推导出最小势能原理，因此，他们实际上是一个东西（若方程的泛函存在）。
      最后，工程问题的微分方程大多泛函并不存在，故在推导有限元格式方面伽辽金法用的较多。

refeihc

9楼的朋友，谢谢你的讨论。

我前面说的“有2大类方法”不准确，其实有好多类方法，如有限元、加权余量法、差分法、边界元法、无单元法等。

如果说所有的近似数值解法是一大家族，那么基于等效积分方程的方法和基于最小势能原理的方法在家族中的关系可能更密切吧。

关于方法分类，我觉得没有严格的界限来区分2类方法是数学上的或是物理上的，原因如下：
1 等效积分方程既有数学意义也有物理意义
对于一般的偏微分方程，等效积分方程可以完全是数学上的抽象积分形式



这时，它是纯数学意义上的。
而对于力学中的平衡方程以及相应的力边界条件，等效积分方程本质上就是虚位移原理，因此它又具有物理意义。

2 最小势能原理既有数学意义也有物理意义
力学问题可以等效成势能泛函的驻值问题，这里势能泛函有明确的物理意义，但势能泛函可以抽象成数学上更一般的位势概念，如一般的二阶椭圆偏微分方程，无论它是否具有物理意义，都存在势能泛函，也因此可以用有限元法求解。实际上许多物理问题都成立最小作用量原理，本质上还是泛函取驻值。因此，最小势能原理不仅有物理意义，也有数学上的意义。

对于一般的偏微分方程而言，的确有可能不存在相应的泛函，不过如果微分方程是偶数阶，算子满足线性、正定、自伴随性质时，泛函就是一定存在的，相应的驻值问题也一定与原方程等效，这种情况也很普遍。我们通常关心的力学问题几乎不用担心你说的泛函不存在的情况。

exp113

11# refeihc
我觉得如果需要分类，其标准应该是统一的，也许在两个领域可以重合，但正如数学虽然和物理密不可分，但毕竟数学概念是抽象的，物理是实在的，比如等效积分本质上就等于虚位移原理，其实虚位移原理本质上就不具有实际的物理意义，是个physical motivated的概念，正如其vitural所表明的含义，其本质上就是数学的；
当然做这种概念区分其实意义不大，只是说分类的时候可能更加清晰；毕竟没有数学的量化，也不会有物理学科了，对吧？

refeihc

对你说的有限单元法的概念不敢苟同。
       首先，有限单元法是基于等效积分方程和最小势能原理的，用等效积分方程和最小势能原理都可以推导有限元格式。
      其次，用微分方程的等效积分方程（伽辽金法）可以 ...
苦雨孤鸿 发表于 2010-6-14 14:29

10楼的朋友，你说的用等效积分方程可以推导有限元格式，理由是什么呢？

仅凭“微分方程的等效积分方程（伽辽金法）可以推导出最小势能原理”来说明是不充分的，进而得到“有限单元法是基于等效积分方程和最小势能原理的”结论也就缺少依据了。

refeihc

11# refeihc  
我觉得如果需要分类，其标准应该是统一的，也许在两个领域可以重合，但正如数学虽然和物理密不可分，但毕竟数学概念是抽象的，物理是实在的，比如等效积分本质上就等于虚位移原理，其实虚位移原理本质上就不具有实际的物理意义，是个physical motivated的概念，正如其vitural所表明的含义，其本质上就是数学的；
...
exp113 发表于 2010-6-14 16:32

关于虚位移原理的本质你说的内容有道理，不妨说它具有virtual的物理意义吧！我前面的分类只是为了方便说明，谈不上严谨。

觉得这样的讨论挺有意义！

苦雨孤鸿

13# refeihc
      首先，我所说的是伽辽金法可以推导有限元格式，而伽辽金法是等效积分方程的一种近似方法；对线性自伴随方程，伽辽金法和最小势能原理是等价的，既然最小势能原理能够推导有限元格式，那么作为其等价的伽辽金法为什么不能推导有限元格式呢？另外，若泛函不存在，只能靠伽辽金法推导有限元格式。
   其次，最小势能原理仅适用于弹性力学问题，若以你所说，有限单元法属于最小势能原理，那有限元岂不是只能做线弹性力学问题，而塑性和非线性都不能用有限元了？
   最后，对于塑性和非线性等问题，可以用虚位移原理和虚应力原理，而他们二者分别是平衡方程、力边界条件和几何方程、位移边界条件的等效积分形式，可以用他们推导有限元格式。

bellgreen

13# refeihc
      首先，我所说的是伽辽金法可以推导有限元格式，而伽辽金法是等效积分方程的一种近似方法；对线性自伴随方程，伽辽金法和最小势能原理是等价的，既然最小势能原理能够推导有限元格式，那么作为其 ...
苦雨孤鸿 发表于 2010-6-15 10:50

哇哦，这个还需要考虑形函数（试探函数）的问题吧。要不也有可能推导出来的是无网格的格式哦。

refeihc

13# refeihc
      首先，我所说的是伽辽金法可以推导有限元格式，而伽辽金法是等效积分方程的一种近似方法；对线性自伴随方程，伽辽金法和最小势能原理是等价的，既然最小势能原理能够推导有限元格式，那么作为其 ...
苦雨孤鸿 发表于 2010-6-15 10:50

有几个问题：

1 你说的“有限元格式”是不是指建立的方程？
2 你为什么认为“最小势能原理仅适用于弹性力学问题”呢，我不赞同这一说法？
3 “对线性自伴随方程，伽辽金法和最小势能原理是等价的”，也不能让人赞同，一个方法怎么可能和一个原理等价呢？
4 “若泛函不存在，只能靠伽辽金法推导有限元格式”，我认为若泛函不存在，伽辽金法推导出的就不能称之为“有限元格式”。

苦雨孤鸿

哇哦，这个还需要考虑形函数（试探函数）的问题吧。要不也有可能推导出来的是无网格的格式哦。
bellgreen 发表于 2010-6-15 15:05

你说的对，肯定先划分网格的，要不然也不称做有限元了，呵呵！

苦雨孤鸿

有几个问题：

1 你说的“有限元格式”是不是指建立的方程Kx=P？
2 你为什么认为“最小势能原理仅适用于弹性力学问题”呢，我不赞同这一说法？
3 “对线性自伴随方程，伽辽金法和最小势能原理是等价的”，也 ...
refeihc 发表于 2010-6-15 16:03

1、有限元格式是指Kx=P；
2、 因为最小势能原理是在虚位移原理基础上引入了弹性力学的物理方程后得到的；
3、我这里所指的等价是指用伽辽金法可以推导出最小势能原理，可能表述有问题吧，呵呵。
4、 为什么不是有限元格式呢？ 伽辽金法也是推出Kx=P啊，力学是很广的，并不只是只有最小势能原理推出的格式才叫有限元格式。

refeihc

1、有限元格式是指Kx=P；
2、 因为最小势能原理是在虚位移原理基础上引入了弹性力学的物理方程后得到的；
3、我这里所指的等价是指用伽辽金法可以推导出最小势能原理，可能表述有问题吧，呵呵。
4、 为什么不是 ...
苦雨孤鸿 发表于 2010-6-15 18:10

1  称为有限元格式不妥，因为加权余量法得到的方程都是这种形式，里兹法得到的方程也是这种格式，称之为“等效节点力平衡方程”恰当一点吧。
2 “最小势能原理是在虚位移原理基础上引入了弹性力学的物理方程后得到的”，不能因此认为“最小势能原理仅适用于弹性力学问题”，实际上最小势能原理大量用于非线性问题。我们知道虚位移原理（也包括其它的等效积分方程）与变分驻值的等价性证明，是不需要线性假定的，我的印象中只是用了高斯公式、边界条件和平衡方程，所以认为最小势能原理仅适用于线性问题是不正确的。
3 因为你曾提到“伽辽金法”是一种近似算法，我自然认为就是“伽辽金算法”。有一个概念是“伽辽金提法”，它和“伽辽金算法”不同，“伽辽金提法”是等效积分方程的一个特殊表示，它才和最小势能原理等效，但它不是近似算法。你可能误认为“伽辽金算法”是等效的，当然有问题了，请你再考虑一下。
4 我是对你的“有限元格式”这一概念存在质疑，等效积分方程也好，里兹法、甚至差分法也好，得到的方程都是，是不是都可以称为“有限元格式”呢？