虚位移原理和最小势能原理

xiaopiujy

今天看了好几本书书对于几个概念反而更加困惑了，还请大虾解答：
1：虚位移原理和最小势能原理是不是等效的？
2：有限元中虚位移原理和变分之间的关系是怎么样的？
3:等效积分的弱形式和虚位移之间的关系？

tonnyw

今天看了好几本书书对于几个概念反而更加困惑了，还请大虾解答：
1：虚位移原理和最小势能原理是不是等效的？
2：有限元中虚位移原理和变分之间的关系是怎么样的？
3:等效积分的弱形式和虚位移之间的关系？
xiaopiujy 发表于 2011-1-25 01:59

Why not use a very simple 1D problem to illustrate these concepts?

九曲黄河

“‘虚功原理’反映了平衡条件，但是这个力的平衡条件只是弹性力学的基本方程之一，弹性力学平衡问题的基本方租包括平衡、几何和物理方程三个方面以及相应的,和边界条件,所以虚功原理只反映了这三个方面中的一个反之,最小势能原理所反映的以位移表示的平衡方程、是位移法的基本方程,它不仅代表了平衡,同时也包含了几何与物理条件,即同时反映了弹性力学的全部基本方程。”找到的解释，自己也在理解中。

武士547

1、虚位移属于虚功原理的一部分，反映了平衡条件，从数学的角度，属于积分的“弱形式”，至于你说的最小失能原理，不知道是不是最小位能原理的另一个说法，如果是，就是虚位移原理的基础上加上物理方程。
2、虚位移原理和变分的关系，类似一个物理概念上，一个数学概念上，
3、等效积分的弱形式等效为变分法，这问题就变成了第二个问题了。

ggbbggb

今天看了好几本书书对于几个概念反而更加困惑了，还请大虾解答：
1：虚位移原理和最小势能原理是不是等效的？
最小势能本身有2个涵义，势能驻值+势能最小。但是通常我们用驻值那个条件。虚位移原理是普遍原理，适用任何材料。我们通常只在弹性力学里谈最小势能原理（变分原理在弹性力学里的表现形式），在非弹性力学里我们还以谈变分原理，几乎没有谈过最小势能原理？如果谁见到，请correct me. 所以在弹性力学里面，两者是等效的，因为它们可以互相推。

2：有限元中虚位移原理和变分之间的关系是怎么样的？

这个问题似乎上升到虚位移和变分的并肩关系上来了，变分也分为自然变分(强制条件要附加满足）和约束变分（附加条件被放松）。约束变分也叫广义变分。对自然变分问题，你可以通过虚位移原理，推出对应的泛函，反之亦然）。这是针对一般力学论述来说的，在有限元中，我们用近似方法。虚位移有限元中的位移模式按插值函数来构造（建立在单元基础之上），常说的ritz方变分法的实质是也是构造插值函数来近似你的泛函（在弹性力学里面，因为对应的泛函可认为是总势能，这时ritz是最小势能原理的一个近似数值算法，在变分中也叫变分问题的直接解法）。

3:等效积分的弱形式和虚位移之间的关系？

当你的虚位移取为等效积分弱形式的权函数时，两者就只是叫法不同而已（而对虚位移的要求和对权函数的要求也是一样）。

hillyuan

5楼回答的大致正确！

1：虚位移原理和最小势能原理是不是等效的？
  不是所有的问题都存在势能，也就无所谓最小势能原理。但对变形问题虚位移原理总是成立的。

2：有限元中虚位移原理和变分之间的关系是怎么样的？
  虚位移原理可以看成是泛函的对位移的变分。

3:等效积分的弱形式和虚位移之间的关系？
  问题不明。

minwell2008

学习了，表示对概念性的东西理解不深

weixihe

这是一个不乏高手的年代，学习了

hanlongshuai

感觉大家说的太高深了

liangsheliu

看来我的理论太缺了。。。。

whutgb

虚位移原理可以求解线性+非线性微分方程，不论泛函可以找到还是找不到，最小势能原理一般用于线性微分方程求解（通过二次泛函的变分原理找到泛函），当然对于某些可以找到泛函的非线性微分方程，也可以求解，只是构造泛函比较困难，一般只有依据物理意义构造。对于无法找到泛函的问题，就无法用最小势能原理求解了。

从代数方程类比来看，假如你求解一个线性方程K*X=F,以下两种方法都可以使用：
虚功原理： (K*x)*dx=F*dx  ， 也就是 （K*X-F）*dx=0   
最小势能原理： min(1/2*X*K*X-F*X)

实际上，(K*X-F)的原函数（求积分）就是1/2*X*K*X-F*X ，而1/2*X*K*X-F*X的微分就是K*X-F

对于线性方程，KX-F，容易找到它的原函数，使得原函数的微分等于它本身，这样，求原来方程KX-F=0的问题就变为求解1/2*X*K*X-F*X的驻值为题，由于线性方程只有唯一解，对应原函数只有一个驻值点，也就是极值点。

对于某些非线性方程，例如e(-x)=x，从图像上可以看处e（-x）和x只有一个交点，方程只有一个根，多以对应的积分函数 -e(-x）-1/2*x^2 也只有一个极值点。也就是最值点。

大部分的非线性问题都有很多解，或者无解。
例如sin(x)=F,可以通过积分，也就是反微分的方法求出原函数-cos(X)-F*X， 原方程的根的问题转化为原函数的驻值问题，但是对于非线性方程，根不止一个，所以对应原函数的驻值也不止一个。

还有一些非线性方程有很多解，但是积分无法显式的表示出来，例如sin(X)/X=F，这里sin(X)/X 的原函数存在，但是无法显式表述出来，所以难以表述为一个显式的函数的驻值问题。

现在回到有限元，有限元在于求解一个微分方程问题T(X)=F,这个T是一个微分算子，可以是线性的，例如二阶导数，也可以是非线性的，例如二阶导数后求平方或者求导后做sin运算。

对于线性对称正定的算子T（*）, 微分方程T(X)=F， 可以通过一个固定的方法转化为1/2[T(X)，X]-[X,F]的内积的最值问题，中括号[]标示内积，这个表达式和1/2（X*K*X）-（X,F）是一致的，因为（X*K*X）=[K*X，X],两个数的乘积也就是两个数的内积，你可以把数字看做一维的向量。所谓算子就是把一个函数变换为另外一个函数，你把函数看做一个n维度的向量，相当于在一个连续的函数曲线上采n个点，变为一个n维的向量，当n的数目变为无穷大的时候，向量就变为函数，类似的，两个向量[x1,x2,.....xn]和[y1,y2,......yn]向量的内积sum(xi*yi)就变为sum(x(x)*y(x)),为了防止累加变为无穷大，后面添加一个dx，变为sum(x(x)*y(x)*dx),这个表示是也就是函数x(x)*y(x)的乘积的积分，定义为两个向量的内积。在1维条件下，数字k将一个数字x变为另外一个数字k*（x）.在二维的条件下，矩阵K将一个向量X变为一个向量K*（X），拓展到无穷维度，微分算子T将一个无穷维度的向量，也就是函数X变换为另外一个函数T(X
),例如二次微分算子将x^3变为6*x,  数学家发现可以通过类比代数方程k*x-F=0转化为函数1/2*（k*x，x）-（x，F），通过同样的方法将微分方程T*(X)-F=0转化为1/2*[T(x),x]-[x,F]的最小值为题。类似于通过反微分（积分）的方法找到一个和原微分方程对应得问题的极值问题。

对于一般的物理意义上有唯一一个解得情况，可以依据1*2（T(x)，x）-（X,F）对应得物理意义找到对应得泛函，而且这个泛函通过类似微分的方法，可以转为为等价的微分方程问题。

对于一般的非线性微分方程，很难找到对应得泛函，虽然对于代数方程求反微分（积分），找到一个函数的极值问题和代数方程对应，方法很多很多，例如凑微分，分部积分等等方法，但是对于找和微分方程T*(X)-F=0却要困难很多。

以上叙述中，表达式1*2（T(x)，x）-（X,F）称为泛函，它是一个函数，但是自变量不是一个数，是一个函数。
以上叙述中“”类似微分的方法“”，数学家称为变分法，
以上叙述中，“类似积分的方法，或者反微分方法”，数学家还没有给名字，你可以称为构造泛函法

回到你的问题。

虚功原理<=>对于一般的线性或者非线性方程，f(x)=F,我都转化为一个方程f(x)*dx=F*dx，最后消去了位移的变分，化为一个方程。至于（f（x）-F）*dx，能否通过反微分，就是积分转化为d（G(x)）=0,我不关心。也不能肯定，但是我还是把问题解决了不是？

至于最小势能原理<=>一定把（f（x）-F）*dx转化为G(X)的最小值问题了。找到这个G（X）可不容易了！另外最小势能原理中有一个最小两个字，不是极小，就要求原来的微分方程无论线性还是非线性，都只有一个解，对于的泛函G（x）只有一个极值点，就是最值点。

推荐书一本，吴迪光写的《变分法》，第一章到第六章写的是怎样由一个泛函转化为一个微分方程，类似于怎样求微分，后面的7,8,9章讲的是怎样对于一个微分方程找到一个泛函的极值问题，类似于怎样求积分。假如难以找到，可以留下邮箱，通过邮件发给你。

错误之处，请大家指正。

sunllex

whutgb 发表于 2016-12-18 20:27
虚位移原理可以求解线性+非线性微分方程，不论泛函可以找到还是找不到，最小势能原理一般用于线性微分方程 ...

可以给我发一份吗，多谢了 。247497145@qq.com

kun_sleepy

大神好多javascript:void(0)